Question

【題目】如圖，已知拋物線L：y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點．與y軸交于C點．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．

（1）求拋物線L的函數表達式；

（2）在拋物線L的對稱軸上是否存在一點M，使△ACM周長最��？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）連接AC、BC，在拋物線L上是否存在一點N，使S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）拋物線對稱軸上存在點M（1，﹣2）符合題意；（3）符合條件的點N的坐標是（2，﹣3）或（﹣2，5）．

【解析】

（1）運用待定系數法確定函數解析式即可；

（2）點B是點A關于拋物線對稱軸的對稱點，在拋物線的對稱軸上有一點M，要使MA+MC的值最小，則點M就是BC與拋物線對稱軸的交點，利用待定系數法求出直線BC的解析式，把拋物線對稱軸r=1代入即可求解；

（3）設N（x，x2﹣2x﹣3），根據三角形的面積公式解答即可.

（1）由A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA，得

OB＝OC＝3，

即B（3，0），C（0，﹣3），

把A，B，C的坐標代入函數解析式，得

，

解得，

拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵點A、B關于對稱軸對稱，

∴點M為BC與對稱軸的交點時，MA+MC的值最�。�

設直線BC的解析式為y＝kx+t（k≠0），

則，

解得：．

∴直線AC的解析式為y＝x﹣3．

∵拋物線的對稱軸為直線x＝1．

∴當x＝1時，y＝﹣2．

∴拋物線對稱軸上存在點M（1，﹣2）符合題意；

（3）設N（x，x2﹣2x﹣3），

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB＝4，OC＝3．

∴S△ABC＝ABOC＝×4×3＝6．

∵S△ABC＝2S△OCN，

∴2×OC|x|＝6，即|x|＝2，

解得x＝2或x＝﹣2．

當x＝2時，x2﹣2x﹣3＝﹣3．此時N（2，﹣3）．

當x＝﹣2時，x2﹣2x﹣3＝5．此時N（﹣2，5）．

綜上所述，符合條件的點N的坐標是（2，﹣3）或（﹣2，5）．