Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=2x+b分別交x，y軸于點A、C，拋物線y=ax2+x+4經過A、C兩點，交x軸于另外一點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在第一象限內拋物線上，連接PB、PC，作平行四邊形PBDC，DE⊥y軸于點E，設點P 的橫坐標為t，線段DE的長度為d，求d與t之間的函數關系式．

（3）在（2）的條件下，延長BD交直線AC與點F，連接OF，若∠AFO=∠BFO，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+4．（2）d =4-t（0＜t＜4）．（3）點P坐標為（，）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題．

（2）如圖1中，設P（t，-x2+x+4），D（x，y）．根據平行四邊形的性質對角線互相平分，利用中點坐標公式，列出方程即可解決問題．

（3）如圖2中，作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，NE⊥OB于E．先求出點N的坐標，求出直線NB的解析式，再求出直線PC的解析式，解方程組即可解決問題．

（1）對于拋物線y=ax2+x+4，令x=0，得y=4，

∴C（0，4），把C（0，4），代入y=2x+b中，得b=4，

∴直線解析式為y=2x+4，令Y=0，得x=-2，

∴A（-2，0），把A（-2，0）代入y=ax2+x+4，得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4．

（2）如圖1中，設P（t，-x2+x+4），D（x，y）．

∵C（0，4），B（4，0），四邊形CPBD是平行四邊形，

∴，x=4-t，

∴d=DE=x=4-t（0＜t＜4）．

（3）如圖2中，作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，NE⊥OB于E．

∵∠OFA=∠OFB，OM⊥FC，ON⊥FB，

∴OM=ON，

∵OAOC=ACOM，OA=2，OC=4，AC=，

∴ON=OM=，

∵BN=，

∵ONBN=OBEN，

∴EN=，OE=，

∴N（，-），

設直線BN的解析式為y=kx+b，則有，解得 ，

∵PC∥BN，

∴直線PC的解析式為y=x+4，

由，解得或，

∴點P坐標為（，）．