Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P．連接AC．

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線AC的解析式；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OF，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接FA、FC．求AF+CF的最小值；

（3）如圖3，點(diǎn)M為線段OA上一點(diǎn)，以OM為邊在第一象限內(nèi)作正方形OMNG，當(dāng)正方形OMNG的頂點(diǎn)N恰好落在線段AC上時(shí)，將正方形OMNG沿x軸向右平移，記平移中的正方形OMNG為正方形O′MNG，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)停止平移．設(shè)平移的距離為t，正方形O′MNG的邊MN與AC交于點(diǎn)R，連接O′P、O′R、PR，是否存在t的值，使△O′PR為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（2，3），yAC＝﹣x+3；（2）；（3）存在，t的值為﹣3或，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）由拋物線y＝x2+x+3可求出點(diǎn)C，P，A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法，可求出直線AC的解析式；

（2）在OC上取點(diǎn)H（0，），連接HF，AH，求出AH的長(zhǎng)度，證△HOF∽△FOC，推出HF＝CF，由AF+CF＝AF+HF≥AH，即可求解；

（3）先求出正方形的邊長(zhǎng)，通過(guò)△ARM∽△ACO將相關(guān)線段用含t的代數(shù)式表示出來(lái)，再分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠O'RP＝90°時(shí)，當(dāng)∠PO'R＝90°時(shí)，當(dāng)∠O'PR＝90°時(shí)，分別構(gòu)造相似三角形，即可求出t的值，其中第三種情況不存在，舍去．

（1）在拋物線y＝x2+x+3中，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，

∴C（0，3），

當(dāng)y＝3時(shí)，x1＝0，x2＝2，

∴P（2，3），

當(dāng)y＝0時(shí)，則x2+x+3=0，

解得：x1＝﹣4，x2＝6，

B（﹣4，0），A（6，0），

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+3，

將A（6，0）代入，

得，k＝﹣，

∴y＝﹣x+3，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為P（2，3），直線AC的解析式為y＝﹣x+3；

（2）在OC上取點(diǎn)H（0，），連接HF，AH，

則OH＝，AH＝，

∵，，且∠HOF＝∠FOC，

∴△HOF∽△FOC，

∴，

∴HF＝CF，

∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，

∴AF+CF的最小值為；

（3）∵正方形OMNG的頂點(diǎn)N恰好落在線段AC上，

∴GN＝MN，

∴設(shè)N（a，a），

將點(diǎn)N代入直線AC解析式，

得，a＝﹣a+3，

∴a＝2，

∴正方形OMNG的邊長(zhǎng)是2，

∵平移的距離為t，

∴平移后OM的長(zhǎng)為t+2，

∴AM＝6﹣（t+2）＝4﹣t，

∵RM∥OC，

∴△ARM∽△ACO，

∴，

即，

∴RM＝2﹣t，

如圖3﹣1，當(dāng)∠O'RP＝90°時(shí)，延長(zhǎng)RN交CP的延長(zhǎng)線于Q，

∵∠PRQ+∠O'RM＝90°，∠RO'M+∠O'RM＝90°，

∴∠PRQ＝∠RO'M，

又∵∠Q＝∠O'MR＝90°，

∴△PQR∽△RMO'，

∴，

∵PQ＝2+t-2=t，QR＝3﹣RM＝1+t，

∴，

解得，t1＝﹣3﹣（舍去），t2＝﹣3；

如圖3﹣2，當(dāng)∠PO'R＝90°時(shí)，

∵∠PO'E+∠RO'M＝90°，∠PO'E+∠EPO'＝90°，

∴∠RO'M＝∠EPO'，

又∵∠PEO'＝∠O'MR＝90°，

∴△PEO'∽△O'MR，

∴，

即，

解得，t＝；

如圖3﹣3，當(dāng)∠O'PR＝90°時(shí)，延長(zhǎng)O’G交CP于K，延長(zhǎng)MN交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，

∵∠KPO'+∠TPR＝90°，∠KO'P+∠KPO'＝90°，

∴∠KO'P＝∠TPR，

又∵∠O'KP＝∠T＝90°，

∴△KO'P∽△TPR，

∴，

即，

整理，得t2-t+3＝0，

∵△＝b2﹣4ac＝﹣＜0，

∴此方程無(wú)解，故不存在∠O'PR＝90°的情況；

綜上所述，△O′PR為直角三角形時(shí)，t的值為﹣3或．