【題目】閱讀下面材料,并解決問(wèn)題:
如圖等邊內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求的度數(shù).為了解決本題,我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處,此時(shí)≌,這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換,將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中,從而求出______;
基本運(yùn)用
請(qǐng)你利用第題的解答思想方法,解答下面問(wèn)題:已知如圖,中,,,E、F為BC上的點(diǎn)且,求證:;
能力提升
如圖,在中,,,,點(diǎn)O為內(nèi)一點(diǎn),連接AO,BO,CO,且,求的值.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析;(3).
【解析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等,全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答;
把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,,,,,再求出,從而得到,然后利用“邊角邊”證明和全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得,再利用勾股定理列式即可得證.
將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處,連接,根據(jù)直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出,即的長(zhǎng),再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得,等邊三角形三個(gè)角都是求出,然后求出C、O、、四點(diǎn)共線,再利用勾股定理列式求出,從而得到.
≌,
、、,
由題意知旋轉(zhuǎn)角,
為等邊三角形,
P,,
易證為直角三角形,且,
;
故答案為:;
如圖2,把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,,,,,,
,
,
,
在和中,
,
≌,
,
,,
,
,
由勾股定理得,,
即.
如圖3,將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處,連接,
在中,,,,
,
,
繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),
如圖所示;
,
繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),得到,
,,,
是等邊三角形,
,,
,
,
、O、、四點(diǎn)共線,
在中,,
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形ABCD中,點(diǎn)P沿著邊按B→C→D→A方向運(yùn)動(dòng),開(kāi)始以每秒m個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng)、a秒后變?yōu)槊棵?/span>2個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng),b秒后恢復(fù)原速勻速運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△ABP的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)直接寫(xiě)出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬;
(2)求m,a,b的值;
(3)當(dāng)P點(diǎn)在AD邊上時(shí),直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)補(bǔ)充完整:
如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn),且滿(mǎn)足∠EAF=45°,連結(jié)EF,試說(shuō)明DE+BF=EF.
解:將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,此時(shí)AB與AD重合.由旋轉(zhuǎn)可得AB=AD,GB=ED,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°.
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.
∴點(diǎn)G、B、F在同一條直線上.
∵∠EAF=45°,
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=45°.
∴∠GAF=∠ .
又∵AG=AE,AF=AF.
∴△GAF≌ .
∵ =EF.
∴DE+BF=BG+BF=GF=EF.
(2)類(lèi)比引申:
如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°,若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿(mǎn)足等量關(guān)系 時(shí),有EF=BE+DF.
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°,試猜想BD、DE、EC滿(mǎn)足的等量關(guān)系,并寫(xiě)出推理過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向B以1cm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)B重合),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向C以2cm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)C重合).如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā),當(dāng)四邊形APQC的面積最小時(shí),經(jīng)過(guò)的時(shí)間為( )
A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(4,0),(3,2).
(1)畫(huà)出△AOB關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的圖形△COD;
(2)將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△EOF,畫(huà)出△EOF;
(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ,點(diǎn)F的坐標(biāo)是 ,此圖中線段BF和DF的關(guān)系是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖△ABC 中,AC=BC,∠ACB=120°,點(diǎn) D 在線段 AB 上運(yùn)動(dòng)(D 不與 A、B 重合),連接 CD,作∠CDE=30°,DE 交 BC 于點(diǎn) E,若△CDE 是等腰三角形,則∠ADC 的度數(shù)是___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,本市新建一座圓形人工湖,為測(cè)量該湖的半徑,小杰和小麗沿湖邊選取A,B,C三根木柱,使得A,B之間的距離與A,C之間的距離相等,并測(cè)得BC長(zhǎng)為120米,A到BC的距離為4米,請(qǐng)你幫他們求出該湖的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,D為⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,BC=6, .求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△DCB中,若∠ACB=∠DBC,則不能證明兩個(gè)三角形全等的條件是( )
A.∠ABC=∠DCBB.∠A=∠DC.AB=DCD.AC=DB
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