【題目】如圖,拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A,B兩點(diǎn),交x軸與D,C兩點(diǎn),連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).
(Ⅰ)求拋物線的解析式和tan∠BAC的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)條件下:
(1)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q,問(wèn):是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接DE,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn),再沿線段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止,當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少?
【答案】(Ⅰ)y=x2﹣x+3.tan∠BAC=;(Ⅱ)(1)(11,36)、(,)、(,);(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,1).
【解析】
(Ⅰ)只需把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+mx+n,就可得到拋物線的解析式,然后求出直線AB與拋物線的交點(diǎn)B的坐標(biāo),過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H,如圖1.易得∠BCH=∠ACO=45°,BC=,AC=3,從而得到∠ACB=90°,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tan∠BAC的值;
(Ⅱ)(1)過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于G,則∠PGA=90°.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,由P在y軸右側(cè)可得x>0,則PG=x,易得∠APQ=∠ACB=90°.若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方,①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí),△PAQ∽△CAB.此時(shí)可證得△PGA∽△BCA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=3PG=3x.則有P(x,3-3x),然后把P(x,3-3x)代入拋物線的解析式,就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí),△PAQ∽△CBA,同理,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方,同理,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)過(guò)點(diǎn)E作EN⊥y軸于N,如圖3.易得AE=EN,則點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間可表示為.作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′,連接D′E,則有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,從而可得∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得:當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí),DE+EN=D′E+EN最。藭r(shí)可證到四邊形OCD′N(xiāo)是矩形,從而有ND′=OC=3,ON=D′C=DC.然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo),從而得到OD、ON、NE的值,即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo).
解:(Ⅰ)把A(0,3),C(3,0)代入y=x2+mx+n,得
,解得:.
∴拋物線的解析式為y=x2-x+3.
聯(lián)立,解得:或,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1).
過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H,如圖1.
∵C(3,0),B(4,1),
∴BH=1,OC=3,OH=4,CH=4-3=1,
∴BH=CH=1.
∵∠BHC=90°,
∴∠BCH=45°,BC=.
同理:∠ACO=45°,AC=3,
∴∠ACB=180°-45°-45°=90°,
∴tan∠BAC=;
(Ⅱ)(1)存在點(diǎn)P,使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似.
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于G,則∠PGA=90°.
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,由P在y軸右側(cè)可得x>0,則PG=x.
∵PQ⊥PA,∠ACB=90°,
∴∠APQ=∠ACB=90°.
若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方,
①如圖2①,當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí),則△PAQ∽△CAB.
∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,
∴△PGA∽△BCA,
∴.
∴AG=3PG=3x.
則P(x,3-3x).
把P(x,3-3x)代入y=x2-x+3,得
x2-x+3=3-3x,
整理得:x2+x=0
解得:x1=0(舍去),x2=-1(舍去).
②如圖2②,當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí),則△PAQ∽△CBA.
同理可得:AG=PG=x,則P(x,3-x),
把P(x,3-x)代入y=x2-x+3,得
x2-x+3=3-x,
整理得:x2-x=0
解得:x1=0(舍去),x2=,
∴P(,);
若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方,
①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí),則△PAQ∽△CAB,
同理可得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,36).
②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí),則△PAQ∽△CBA.
同理可得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,).
綜上所述:滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,36)、(,)、(,);
(2)過(guò)點(diǎn)E作EN⊥y軸于N,如圖3.
在Rt△ANE中,EN=AEsin45°=AE,即AE=EN,
∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為.
作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′,連接D′E,
則有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,
∴∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得:
當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí),DE+EN=D′E+EN最。
此時(shí),∵∠D′CD=∠D′N(xiāo)O=∠NOC=90°,
∴ND′=OC=3,ON=D′C=DC.
對(duì)于y=x2-x+3,
當(dāng)y=0時(shí),有x2-x+3=0,
解得:x1=2,x2=3.
∴D(2,0),OD=2,
∴ON=DC=OC-OD=3-2=1,
∴NE=AN=AO-ON=3-1=2,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC和△DEF,點(diǎn)E在BC邊上,點(diǎn)A在DE邊上,邊EF和邊AC相交于點(diǎn)G.如果AE=EC,∠AEG=∠B,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定△DEF與△ABC一定相似的是( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(3,0),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.B.C.D.
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【題目】小甬工作的辦公樓(矩形ABCD)前有一旗桿MN,MN⊥DN,旗桿高為12m,在辦公樓底A處測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋菫?/span>30°,在辦公樓天臺(tái)B處測(cè)旗桿頂?shù)难鼋菫?/span>45°,在小甬所在辦公室樓層E處測(cè)得旗桿頂?shù)母┙菫?/span>15°.
(1)辦公樓的高度AB;
(2)求小甬所在辦公室樓層的高度AE.
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【題目】為迎接暑假旅游高峰的到來(lái),某旅游紀(jì)念品商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品.若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品7件,B種紀(jì)念品4件,需要760元;若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件.B種紀(jì)念品8件,需要800元.
(1)求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元?
(2)若該商店決定購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品共100件.考慮市場(chǎng)需求和資金周轉(zhuǎn),這100件紀(jì)念品的資金不少于7000元,但不超過(guò)7200元,那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案?
(3)若銷(xiāo)售A種紀(jì)念品每件可獲利潤(rùn)30元,B種紀(jì)念品每件可獲利潤(rùn)20元,用(2)中的進(jìn)貨方案,哪一種方案可獲利最大?最大利潤(rùn)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(閱讀):數(shù)學(xué)中,常對(duì)同一個(gè)量(圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)、三角形的內(nèi)角和等)用兩種不同的方法計(jì)算,從而建立相等關(guān)系,我們把這一思想稱(chēng)為“算兩次”.“算兩次”也稱(chēng)做富比尼原理,是一種重要的數(shù)學(xué)思想.
(理解):(1)如圖,兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為、、的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是的直角三角形拼成一個(gè)梯形.用兩種不同的方法計(jì)算梯形的面積,并寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(2)如圖2,行列的棋子排成一個(gè)正方形,用兩種不同的方法計(jì)算棋子的個(gè)數(shù),可得等式:________;
(運(yùn)用):(3)邊形有個(gè)頂點(diǎn),在它的內(nèi)部再畫(huà)個(gè)點(diǎn),以()個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),把邊形剪成若干個(gè)三角形,設(shè)最多可以剪得個(gè)這樣的三角形.當(dāng),時(shí),如圖,最多可以剪得個(gè)這樣的三角形,所以.
①當(dāng),時(shí),如圖, ;當(dāng), 時(shí),;
②對(duì)于一般的情形,在邊形內(nèi)畫(huà)個(gè)點(diǎn),通過(guò)歸納猜想,可得 (用含、的代數(shù)式表示).請(qǐng)對(duì)同一個(gè)量用算兩次的方法說(shuō)明你的猜想成立.
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【題目】已知:內(nèi)接于,直徑交邊于點(diǎn),.
(1)如圖所示,求證:;
(2)如圖所示,過(guò)點(diǎn)作于H,交于,交于點(diǎn),連接,求證:;
(3)如圖所示,在(2)的條件下,延長(zhǎng)至點(diǎn),連接、,過(guò)點(diǎn)作于,射線交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,,若,,求的半徑.
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【題目】如圖,的半徑為交于點(diǎn)D,點(diǎn)C是上一動(dòng)點(diǎn),以BC為邊向下作等邊.
當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到時(shí),
求證:BC與相切;
試判斷點(diǎn)A是否在上,并說(shuō)明理由.
設(shè)的面積為S,求S的取值范圍.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),按A→B→C的方向在AB和BC上移動(dòng),記PA=x,點(diǎn)D到直線PA的距離為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )
A.B.
C.D.
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