Question

【題目】（閱讀）：數(shù)學(xué)中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數(shù)、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．

（理解）：（1）如圖，兩個邊長分別為、、的直角三角形和一個兩條直角邊都是的直角三角形拼成一個梯形．用兩種不同的方法計算梯形的面積，并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（2）如圖2，行列的棋子排成一個正方形，用兩種不同的方法計算棋子的個數(shù)，可得等式：________；

（運用）：（3）邊形有個頂點，在它的內(nèi)部再畫個點，以（）個點為頂點，把邊形剪成若干個三角形，設(shè)最多可以剪得個這樣的三角形．當(dāng)，時，如圖，最多可以剪得個這樣的三角形，所以．

①當(dāng)，時，如圖，　 　；當(dāng)，　 　時，；

②對于一般的情形，在邊形內(nèi)畫個點，通過歸納猜想，可得　 　（用含、的代數(shù)式表示）．請對同一個量用算兩次的方法說明你的猜想成立．

Answer 1

【答案】（1）見解析，故結(jié)論為：直角長分別為、斜邊為的直角三角形中；（2）；（3）①6，3；②，見解析.

【解析】

（1）此等腰梯形的面積有三部分組成，利用等腰梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和列出方程并整理．

（2）由圖可知行列的棋子排成一個正方形棋子個數(shù)為，每層棋子分別為，，，，…，．故可得用兩種不同的方法計算棋子的個數(shù)，即可解答．

（3）根據(jù)探畫出圖形究不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)部每增加一個點，分割部分增加部分，即可得出結(jié)論．

（1）有三個其面積分別為，和．

直角梯形的面積為．

由圖形可知：

整理得，，

．

故結(jié)論為：直角長分別為、斜邊為的直角三角形中．

（2）行列的棋子排成一個正方形棋子個數(shù)為，每層棋子分別為，，，，…，．

由圖形可知：．

故答案為：．

（3）①如圖，當(dāng)，時，，

如圖，當(dāng)，時，．

②方法1．對于一般的情形，在邊形內(nèi)畫個點，第一個點將多邊形分成了個三角形，以后三角形

內(nèi)部每增加一個點，分割部分增加部分，故可得．

方法2．以的二個頂點和它內(nèi)部的個點，共（）個點為頂點，可把分割成個互不重疊的小三角形．以四邊形的個頂點和它內(nèi)部的個點，共（）個點為頂點，可把四邊形分割成個互不重疊的小三角形．故以邊形的個頂點和它內(nèi)部的個點，共（）個點作為頂點，可把原n邊形分割成個互不重疊的小三角形．故可得．

故答案為：①，；②．