Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象過(guò)A(5，0)和B(0，)兩點(diǎn)，射線CE繞點(diǎn)C(0，5)旋轉(zhuǎn)，交拋物線于D，E兩點(diǎn)，連接AC．

（1）求二次函數(shù)yx2+bx+c的表達(dá)式；

（2）連接OE，AE，當(dāng)△CEO是以CO為底的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)和△ACE的面積；

（3）如圖2，射線CE旋轉(zhuǎn)時(shí)，取DE的中點(diǎn)F，以DF為邊作正方形DFMN．當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)，正方形DFMN的頂點(diǎn)M恰好落在x軸上．

①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)，將正方形DFMN沿射線CE方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度平移．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．直接寫(xiě)出正方形DFMN落在x軸下方的面積S與時(shí)間t(0≤t≤4)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）yx2+2x；（2）點(diǎn)E(4，)；△ACE的面積是；（3）①點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，0)；②S．

【解析】

（1）把A(5，0)和B(0，)兩點(diǎn)代入解析式，利用待定系數(shù)法求解即可，

（2）△CEO是以CO為底的等腰三角形時(shí)，可得點(diǎn)E、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱．從而可得的坐標(biāo)，再利用可得答案，

（3） ①求解直線AC的表達(dá)式為：y=﹣x+5，利用對(duì)角線DM與AC的夾角為45°，得到 從而利用D的坐標(biāo)，得到M的坐標(biāo)，②設(shè)正方形MFDN平移后為M'F'D'N'，分兩種情況討論即可得到答案．

解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：

，

解得，

故拋物線的表達(dá)式為：yx2+2x①；

（2）當(dāng)C(0，5)，△CEO是以CO為底的等腰三角形時(shí)，

則OC的中點(diǎn)(0，)的縱坐標(biāo)和點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，

而點(diǎn)B(0，)，即點(diǎn)E、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱．

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4，)；

OC|xE|OA|yE|

5×45

（3）①∵OA=OC=5，∴∠CAO=45°．

正方形DFMN，

對(duì)角線DM與AC的夾角為45°，

∴∠DMA=90°，即DM⊥x軸，

即點(diǎn)D、M的橫坐標(biāo)相同，

由A、C的坐標(biāo)得：直線AC的表達(dá)式為：y=﹣x+5②，

聯(lián)立①，②并解得：x=1或5(舍去5)，

故x=1，故點(diǎn)D(1，4)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，0)；

②設(shè)正方形MFDN平移后為M'F'D'N'，如圖1，2所示；

由A、D的坐標(biāo)得：DA4，

∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，故DA=2，即正方形MFDN的邊長(zhǎng)為2，

∴正方形MFDN的面積為S1=(2)2=8；

(Ⅰ)當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖1所示，設(shè)M'F'交x軸于點(diǎn)H．

∵t秒時(shí)，正方形平移的距離為t，

∴MM't=M'H，

∴S=S△M'MHMM'M'H(t)2=t2；

(Ⅱ)當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖2所示，設(shè)N'D'交x軸于點(diǎn)H．

∵t秒時(shí)，正方形平移的距離為t，則DD't，

∴AD'=AD﹣DD'=4t=HD'，

∴S=S1﹣S△AD'H=8AD'×HD'=8=﹣t2+8t﹣8，

綜上，S．