【題目】在平面直角坐標系中,點O00),點A(﹣30).已知拋物線y=﹣x2+2mx+3m為常數(shù)),頂點為P

1)當拋物線經(jīng)過點A時,頂點P的坐標為   ;

2)在(1)的條件下,此拋物線與x軸的另一個交點為點B,與y軸交于點C.點Q為直線AC上方拋物線上一動點.

①如圖1,連接QA、QC,求QAC的面積最大值;

②如圖2,若∠CBQ45°,請求出此時點Q坐標.

【答案】(1)(﹣1,4);(2)①;②Q(﹣,).

【解析】

1)將點A坐標代入拋物線表達式并解得:m=-1,即可求解;

2)①過點Qy軸的平行線交AC于點N,先求出直線AC的解析式,點Q(x,﹣x22x+3),則點N(x,x+3),則△QAC的面積S=×QN×OA=x2x,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;

tanOCB=,設HM=BM=x,則CM=3x,BC=BM+CM=4x=,解得:x=,CH=x=,則點H(0,),同理可得:直線BH(Q)的表達式為:y=-x+,即可求解.

解:(1)將點A(3,0)代入拋物線表達式并解得,

0=﹣9-6m+3

m=﹣1,

故拋物線的表達式為:y=﹣x22x+3=-(x+1)2+4…①

∴點P(1,4),

故答案為:(1,4);

2過點Qy軸的平行線交AC于點N,如圖1,

設直線AC的解析式為y=kx+b

將點A(3,0)、C(03)的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得,

解得

,

∴直線AC的表達式為:yx+3,

設點Q(x,﹣x22x+3),則點Nx,x+3),

△QAC的面積SQN×OA(x22x+3x3)×3=﹣x2x

0,故S有最大值為:;

如圖2,設直線BQy軸于點H,過點HHM⊥BC于點M,

tan∠OCB,設HMBMx,則CM3x,

BCBM+CM4x,解得:x

CHx,則點H(0),

同直線AC的表達式的求法可得直線BHQ)的表達式為:y=﹣x+…②,

聯(lián)立①②并解得:

x22x+3=x+,

解得

x1(舍去)或﹣,

故點Q()

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時間(天)

1

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20

日銷售量

118

114

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超市

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62.5%

62.5%

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