【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AC為直徑,過C點作⊙O的切線,與AB延長線交于點D,M為CD的中點,連接BM,OM,且BC與OM相交于點N.
(1)求證:BM與⊙O相切;
(2)求證:2DM2=BDOM;
(3)若sinA=,BM=3,求AB的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)5
【解析】
(1)連接OB,知∠OCB=∠OBC,由直角三角形性質(zhì)知BM=CM=DM,得∠MBC=∠MCB,依據(jù)CD是⊙O的切線知∠OCB+∠DCB=90°,據(jù)此可得∠OBC+∠MBC=90°,可得結(jié)論;
(2)先證△DBC∽△DCA得,即CD2=BDDA,再證OM是△ACD的中位線得AD=2OE,兩者結(jié)合即可得;
(3)由直角三角形的性質(zhì)可得CD=2BM=6,即可求AD=9,代入CD2=ADBD,可求BD的長,即可求AB的長.
證明:(1)連接OB
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∵AC是直徑
∴∠ABC=∠DBC=90°
∵點M是CD中點,
∴BM=CM=DM
∴∠MBC=∠MCB
∵CD是⊙O切線
∴∠ACD=90°
∴∠OCB+∠MCB=90°
∴∠OBC+∠MBC=90°
即OB⊥BM,且OB是半徑
∴BM是⊙O的切線
(2)∵AO=CO,DM=CM
∴AD=2OM,AD∥OM
∵∠ACB+∠DCB=90°,∠A+∠ACB=90°
∴∠A=∠DCB,且∠D=∠D
∴△ACD∽△CBD
∴
∴CD2=ADBD
∴(2DM)2=2OMBD
∴2DM=BDOM
(3)∵∠DBC=90°,點M是CD的中點
∴CD=2BM=6
∵sinA==,
∴AD=9
∵CD2=ADBD
∴BD=4
∴AB=AD﹣BD=5
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),以原點O為圓心,1為半徑作圓,點P在直線上運動,過點P作該圓的一條切線,切點為A,則PA的最小值為
A. 3 B. 2 C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了扎實推進(jìn)精準(zhǔn)扶貧工作,某地出臺了民生兜底、醫(yī)保脫貧、教育救助、產(chǎn)業(yè)扶持、養(yǎng)老托管和易地搬遷這六種幫扶措施,每戶貧困戶都享受了2到5種幫扶措施,現(xiàn)把享受了2種、3種、4種和5種幫扶措施的貧困戶分別稱為A、B、C、D類貧困戶.為檢査幫扶措施是否落實,隨機(jī)抽取了若干貧困戶進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)將收集的數(shù)據(jù)繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
請根據(jù)圖中信息回答下面的問題:
(1)本次抽樣調(diào)查了多少戶貧困戶?
(2)抽查了多少戶C類貧困戶?并補(bǔ)全統(tǒng)計圖;
(3)若該地共有13000戶貧困戶,請估計至少得到4項幫扶措施的大約有多少戶?
(4)為更好地做好精準(zhǔn)扶貧工作,現(xiàn)準(zhǔn)備從D類貧困戶中的甲、乙、丙、丁四戶中隨機(jī)選取兩戶進(jìn)行重點幫扶,請用樹狀圖或列表法求出恰好選中甲和丁的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】蕭山區(qū)垃圾分類掀起“綠色革命”為調(diào)查居民對垃圾分類的了解情況,調(diào)查小組對某小區(qū)進(jìn)行抽樣調(diào)查并將調(diào)查結(jié)果繪制成了統(tǒng)計圖(如圖).已知調(diào)查中“基本了解”的人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的60%.
(1)計算此次調(diào)查人數(shù),并補(bǔ)全統(tǒng)計圖;
(2)若該小區(qū)有住戶1000人,請估計該小區(qū)對垃圾分類“基本了解”的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB<BC.
(1)利用尺規(guī)作圖,在AD邊上確定點E,使點E到邊AB,BC的距離相等(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)若BC=8,CD=5,則DE= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,CB=2,點E為線段AB上的動點,將△CBE沿CE折疊,使點B落在矩形內(nèi)點F處,下列結(jié)論正確的是_____(寫出所有正確結(jié)論的序號)
①當(dāng)E為線段AB中點時,AF∥CE;
②當(dāng)E為線段AB中點時,AF=;
③當(dāng)A、F、C三點共線時,AE=;
④當(dāng)A、F、C三點共線時,△CEF≌△AEF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某射擊運動員練習(xí)射擊,5次成績分別是:8、9、7、8、x(單位:環(huán)).下列說法中正確的是( 。
A. 若這5次成績的中位數(shù)為8,則x=8
B. 若這5次成績的眾數(shù)是8,則x=8
C. 若這5次成績的方差為8,則x=8
D. 若這5次成績的平均成績是8,則x=8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點O(0,0),點A(﹣3,0).已知拋物線y=﹣x2+2mx+3(m為常數(shù)),頂點為P.
(1)當(dāng)拋物線經(jīng)過點A時,頂點P的坐標(biāo)為 ;
(2)在(1)的條件下,此拋物線與x軸的另一個交點為點B,與y軸交于點C.點Q為直線AC上方拋物線上一動點.
①如圖1,連接QA、QC,求△QAC的面積最大值;
②如圖2,若∠CBQ=45°,請求出此時點Q坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy,對于點P(xp,yp)和圖形G,設(shè)Q(xQ,yQ)是圖形G上任意一點,|xp﹣xQ|的最小值叫點P和圖形G的“水平距離”,|yp﹣yQ|的最小值叫點P和圖形G的“豎直距離”,點P和圖形G的“水平距離”與“豎直距離”的最大值叫做點P和圖形G的“絕對距離”
例如:點P(﹣2,3)和半徑為1的⊙O,因為⊙O上任一點Q(xQ,yQ)滿足﹣1≤xQ≤1,﹣1≤yQ≤1,點P和⊙O的“水平距離”為|﹣2﹣xQ|的最小值,即|﹣2﹣(﹣1)|=1,點P和⊙O的“豎直距離”為|3﹣yQ|的最小值即|3﹣1|=2,因為2>1,所以點P和⊙O的“絕對距離”為2.
已知⊙O半徑為1,A(2,),B(4,1),C(4,3)
(1)①直接寫出點A和⊙O的“絕對距離”
②已知D是△ABC邊上一個動點,當(dāng)點D與⊙O的“絕對距離”為2時,寫出一個滿足條件的點D的坐標(biāo);
(2)已知E是△ABC邊一個動點,直接寫出點E與⊙O的“絕對距離”的最小值及相應(yīng)的點E的坐標(biāo)
(3)已知P是⊙O上一個動點,△ABC沿直線AB平移過程中,直接寫出點P與△ABC的“絕對距離”的最小值及相應(yīng)的點P和點C的坐標(biāo).
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