Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，過C點作⊙O的切線，與AB延長線交于點D，M為CD的中點，連接BM，OM，且BC與OM相交于點N．

（1）求證：BM與⊙O相切；

（2）求證：2DM2＝BDOM；

（3）若sinA＝，BM＝3，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）5

【解析】

（1）連接OB，知∠OCB＝∠OBC，由直角三角形性質(zhì)知BM＝CM＝DM，得∠MBC＝∠MCB，依據(jù)CD是⊙O的切線知∠OCB+∠DCB＝90°，據(jù)此可得∠OBC+∠MBC＝90°，可得結(jié)論；

（2）先證△DBC∽△DCA得，即CD2＝BDDA，再證OM是△ACD的中位線得AD＝2OE，兩者結(jié)合即可得；

（3）由直角三角形的性質(zhì)可得CD＝2BM＝6，即可求AD＝9，代入CD2＝ADBD，可求BD的長，即可求AB的長．

證明：（1）連接OB

∵OB＝OC

∴∠OBC＝∠OCB

∵AC是直徑

∴∠ABC＝∠DBC＝90°

∵點M是CD中點，

∴BM＝CM＝DM

∴∠MBC＝∠MCB

∵CD是⊙O切線

∴∠ACD＝90°

∴∠OCB+∠MCB＝90°

∴∠OBC+∠MBC＝90°

即OB⊥BM，且OB是半徑

∴BM是⊙O的切線

（2）∵AO＝CO，DM＝CM

∴AD＝2OM，AD∥OM

∵∠ACB+∠DCB＝90°，∠A+∠ACB＝90°

∴∠A＝∠DCB，且∠D＝∠D

∴△ACD∽△CBD

∴

∴CD2＝ADBD

∴（2DM）2＝2OMBD

∴2DM＝BDOM

（3）∵∠DBC＝90°，點M是CD的中點

∴CD＝2BM＝6

∵sinA＝＝，

∴AD＝9

∵CD2＝ADBD

∴BD＝4

∴AB＝AD﹣BD＝5