【題目】如圖,點C為線段AB上一點,△ACM,△CBN是等邊三角形,直線AN,MC交于點E,直線BM、CN交與F點。
(1)求證:AN=BM;
(2)求證:△CEF為等邊三角形;
(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900,其他條件不變,在圖2中補出符合要求的圖形,并判斷第(1)(2)兩小題的結(jié)論是否仍然成立,不要求證明。
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)成立.
【解析】
試題(1)可通過全等三角形來得出簡單的線段相等,證明AN=BM,只要求出三角形ACN和MCB全等即可,這兩個三角形中,已知的條件有AC=MC,NC=CB,只要證明這兩組對應(yīng)邊的夾角相等即可,我們發(fā)現(xiàn)∠ACN和∠MCB都是等邊三角形的外角,因此它們都是120°,這樣就能得出兩三角形全等了.也就證出了AN=BM.
(2)我們不難發(fā)現(xiàn)∠ECF=180﹣60﹣60=60°,因此只要我們再證得兩條邊相等即可得出三角形ECF是等邊三角形,可從EC,CF入手,由(1)的全等三角形我們知道,∠MAC=∠BMC,又知道了AC=MC,∠MCF=∠ACE=60°,那么此時三角形AEC≌三角形MCF,可得出CF=CE,于是我們再根據(jù)∠ECF=60°,便可得出三角形ECF是等邊三角形的結(jié)論.
(3)判定結(jié)論1是否正確,也是通過證明三角形ACN和BCM來求得.這兩個三角形中MC=AC,NC=BC,∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB,因此兩三角形就全等,AN=BM,結(jié)論1正確.如圖,當把MC逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,AC也旋轉(zhuǎn)了90°,因此∠ACB=90°,很顯然∠FCE>90°,因此三角形FCE絕對不可能是等邊三角形.
試題解析:(1)∵△ACM,△CBN是等邊三角形,
∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°,
在△CAN和△MCB中,,∴△CAN≌△MCB(SAS),
∴AN=BM.
(2)∵△CAN≌△MCB,
∴∠CAN=∠CMB,
又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠MCF=∠ACE,
在△CAE和△CMF中,,
∴△CAE≌△CMF(ASA),
∴CE=CF,
∴△CEF為等腰三角形,
又∵∠ECF=60°,
∴△CEF為等邊三角形.
(3)連接AN,BM,∵△ACM、△CBN是等邊三角形,∴AC=MC,BC=CN,∠ACM=∠BCN=60°,∵∠ACB=90°,∴∠ACN=∠MCB,
在△ACN和△MCB中,,∴△ACN≌△MCB(SAS),
∴AN=MB.
當把MC逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,AC也旋轉(zhuǎn)了90°,因此∠ACB=90°,很顯然∠FCE>90°,因此三角形FCE絕對不可能是等邊三角形,
即結(jié)論1成立,結(jié)論2不成立.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,正方形OABC的邊長為4,頂點A,C分別在x軸、y軸的正半軸上,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點B,C兩點,點D為拋物線的頂點,連接AC,BD,CD.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求此拋物線頂點D的坐標和四邊形ABDC的面積.
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【題目】臺州某校七(1)班同學分三組進行數(shù)學活動,對七年級400名同學最喜歡喝的飲料情況、八年級300名同學零花錢的最主要用途情況、九年級300名同學完成家庭作業(yè)時間情況進行了全面調(diào)查,并分別用扇形圖、頻數(shù)分布直方圖、表格來描述整理得到的數(shù)據(jù).
根據(jù)以上信息,請回答下列問題:
(1)七年級400名同學中最喜歡喝“冰紅茶”的人數(shù)是多少?
(2)補全八年級300名同學中零花錢的最主要用途情況頻數(shù)分布直方圖;
(3)九年級300名同學中完成家庭作業(yè)的平均時間大約是多少小時(結(jié)果保留一位小數(shù))?
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【題目】觀察推理:如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線l過點C,點A、B在直線l同側(cè),BD⊥l,AE⊥l,垂足分別為D、E.
(1)求證:△AEC≌△CDB;
(2)類比探究:如圖2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,將斜邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AB′,連接B′C,求△AB′C的面積;
(3)拓展提升:如圖3,∠E=60°,EC=EB=4cm,點O在BC上,且OC=3cm,動點P從點E沿射線EC以2cm/s速度運動,連結(jié)OP,將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF.要使點F恰好落在射線EB上,求點P運動的時間.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=﹣2x+8的圖象與x軸,y軸分別交于點A,點C,過點A作AB⊥x軸,垂足為點A,過點C作CB⊥y軸,垂足為點C,兩條垂線相交于點B.
(1)線段AB,BC,AC的長分別為AB= ,BC= ,AC= ;
(2)折疊圖1中的△ABC,使點A與點C重合,再將折疊后的圖形展開,折痕DE交AB于點D,交AC于點E,連接CD,如圖2.
請從下列A、B兩題中任選一題作答,我選擇 題.
A:①求線段AD的長;
②在y軸上,是否存在點P,使得△APD為等腰三角形?若存在,請直接寫出符合條件的所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.
B:①求線段DE的長;
②在坐標平面內(nèi),是否存在點P(除點B外),使得以點A,P,C為頂點的三角形與△ABC全等?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】定義:如果一條拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個交點,那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“直觀三角形”.
(1)拋物線y=x2的“直觀三角形”是 .
A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
(2)若拋物線y=ax2+2ax﹣3a的“直觀三角形”是直角三角形,求a的值;
(3)如圖,面積為12的矩形ABCO的對角線OB在x軸的正半軸上,AC與OB相交于點E,若△ABE是拋物線y=ax2+bx+c的“直觀三角形”,求此拋物線的解析式.
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【題目】如圖,點C,E,F(xiàn),B在同一直線上,點A,D在BC異側(cè),AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求證:AB=CD;
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度數(shù).
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【題目】對于一個函數(shù),如果它的自變量 x 與函數(shù)值 y 滿足:當1≤x≤1 時,1≤y≤1,則稱這個函數(shù)為“閉 函數(shù)”.例如:y=x,y=x 均是“閉函數(shù)”. 已知 y ax2 bx c(a0) 是“閉函數(shù)”,且拋物線經(jīng)過點 A(1,1)和點 B(1,1),則 a 的取值范圍是______________.
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【題目】每年的6月5日為世界環(huán)保日,為了提倡低碳環(huán)保,某公司決定購買10臺節(jié)省能源的新設(shè)備,現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設(shè)備可供選購. 經(jīng)調(diào)查:購買3臺甲型設(shè)備比購買2臺乙型設(shè)備多花16萬元,購買2臺甲型設(shè)備比購買3臺乙型設(shè)備少花6萬元.
(1)求甲、乙兩種型號設(shè)備的價格;
(2)該公司經(jīng)預(yù)算決定購買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過110萬元,你認為該公司有哪幾種購買方案;
(3)在(2)的條件下,已知甲型設(shè)備的產(chǎn)量為240噸/月,乙型設(shè)備的產(chǎn)量為180噸/月.若每月要求總產(chǎn)量不低于2040噸,為了節(jié)約資金,請你為該公司設(shè)計一種最省錢的購買方案.
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