Question

【題目】定義：如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“直觀三角形”．

（1）拋物線y=x2的“直觀三角形”是　 　．

A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

（2）若拋物線y=ax2+2ax﹣3a的“直觀三角形”是直角三角形，求a的值；

（3）如圖，面積為12的矩形ABCO的對角線OB在x軸的正半軸上，AC與OB相交于點(diǎn)E，若△ABE是拋物線y=ax2+bx+c的“直觀三角形”，求此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）B；（2）a=±；（3）拋物線的解析式y=﹣x2+6x﹣24．

【解析】

按照題目中給定的“直觀三角形”定義，求解，（1）證明三角形是等邊三角形.(2)利用三角形是直角三角形反推a.（3）利用已知條件，列方程組求二次函數(shù)的解析式.

解：（1）設(shè)拋物線y=x2﹣2x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A，B，頂點(diǎn)為D，

∴A（0，0），B（2，0），D（，﹣3），

∴AD=BD=2，AB=2，

∴AB=AD=BD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴拋物線y=x2﹣2x對應(yīng)的“直觀三角形”是等邊三角形，

故答案為：B；

（2）設(shè)拋物線y=ax2+2ax﹣3a與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A，B，頂點(diǎn)為D，∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），

∵拋物線y=ax2+2ax﹣3a對應(yīng)的“直觀三角形”是直角三角形，

∴AB2=AD2+BD2，

∴16=4+16a2+4+16a2，

∴a=±；

（3）如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AE=CE=OE=BE，

∴S△ABE=S矩形ABCD=×12=3，

∵△ABE是拋物線的“直觀三角形”，

根據(jù)拋物線的對稱性得，AE=AB，

∴AE=AB=BE，

∴△ABE是等邊三角形，

過點(diǎn)A作AH⊥BE，

∴AH=ABsin∠ABE=AB=BE，

∴BE2=3，

∴BE=2，

∴AH=3，EH=，

∴A（3，3），E（2，0），B（4，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣3）2+3，

將點(diǎn)E（2，0）代入得，a=﹣1，

∴y=﹣（x﹣3）2+3=﹣x2+6x﹣24．

∴過點(diǎn)A，B，E三點(diǎn)的拋物線的解析式y=﹣x2+6x﹣24．