【題目】觀察推理:如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線l過點(diǎn)C,點(diǎn)A、B在直線l同側(cè),BD⊥l,AE⊥l,垂足分別為D、E.
(1)求證:△AEC≌△CDB;
(2)類比探究:如圖2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,將斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB′,連接B′C,求△AB′C的面積;
(3)拓展提升:如圖3,∠E=60°,EC=EB=4cm,點(diǎn)O在BC上,且OC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿射線EC以2cm/s速度運(yùn)動(dòng),連結(jié)OP,將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF.要使點(diǎn)F恰好落在射線EB上,求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.
【答案】(1)證明見詳解;(2)18;(3)2.5
【解析】
(1)根據(jù)題干可知本題考查全等三角形證明,先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD,則可根據(jù)“AAS”證明△AEC≌△CD。
(2)根據(jù)圖2和條件,作B'D⊥AC于D,先證明△B'AD≌△A B'D得到B'D=AC=6,
則可根據(jù)三角形面積公式計(jì)算;
(3)根據(jù)圖3,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠FOP=120°,OP=OF,
再證明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1,
則EP=CE+CP=5,然后計(jì)算點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t.
(1)∵∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠DCB=90°,
∵BD⊥l,AE⊥l,
∴∠AEC=∠BDC=90°,
∴∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠EAC=∠DCB,
又∵AC=BC,
∴△AEC≌△CDB(AAS);
(2)如圖2,作B'D⊥AC于D,
∵斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB',
∴AB’=AB,∠B’AB=90°,
即∠B′AC+∠BAC=90°,
而∠B+∠CAB=90°,
∴∠B=∠B'AC,
∴△B’AD≌△A B′D(AAS),
∴B′D=AC=6,
∴△A B′C的面積=6×6÷2=18;
(3)如圖3,由旋轉(zhuǎn)知,OP=OF,
∵△BCE是等邊三角形,
∴∠CBE=∠BCE=60°
∴∠OCP=∠FBO=120°,
∠CPO+∠COP=60°,
∵∠POF=120°,
∴∠COP+∠BOF=60°,
∴∠CPO=∠BOF,在△BOF和△PCO中
∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO,OF=OP
∴△BOF≌△PCO,
∴CP=OB,
∵EC=BC=4cm,OC=3cm,
∴OB=BC-OC=1,
∴CP=1,
∴EP=CE+CP=5,
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=5÷2=2.5秒。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,等邊.
(1)如圖(1),若,現(xiàn)有兩點(diǎn)、分別從點(diǎn)、點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿三角形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng),已知點(diǎn)的速度為,點(diǎn)的速度為.當(dāng)點(diǎn)第一次到達(dá)點(diǎn)時(shí),、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn),運(yùn)動(dòng)______秒后,為等腰三角形.
(2)如圖,點(diǎn)位于等邊的內(nèi)部,且.將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn).
①依題意,補(bǔ)全圖形;
②若,,求與的面積比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí),統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率,繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖,則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是( )
A. 在“石頭、剪刀、布”的游戲中,小明隨機(jī)出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌的花色是紅桃
C. 暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球,它們只有顏色上的區(qū)別,從中任取一球是黃球
D. 擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子,向上的面點(diǎn)數(shù)是4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中,以A為一個(gè)頂點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上,且含邊長(zhǎng)為3的所有大小不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)為( )
A.3B.4C.5D.6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點(diǎn)A(1,﹣3)、B(3,﹣3)、C(﹣1,5),頂點(diǎn)為M點(diǎn).在拋物線上是找一點(diǎn)P使∠POM=90°,則P點(diǎn)的坐標(biāo)_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一個(gè)二次函數(shù)滿足以下條件:
①函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,0),B(x2,y2)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè));
②對(duì)稱軸是x=3;
③該函數(shù)有最小值是﹣2.
(1)請(qǐng)根據(jù)以上信息求出二次函數(shù)表達(dá)式;
(2)將該函數(shù)圖象x>x2的部分圖象向下翻折與原圖象未翻折的部分組成圖象“G”,平行于x軸的直線與圖象“G”相交于點(diǎn)C(x3,y3)、D(x4,y4)、E(x5,y5)(x3<x4<x5),結(jié)合畫出的函數(shù)圖象求x3+x4+x5的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),△ACM,△CBN是等邊三角形,直線AN,MC交于點(diǎn)E,直線BM、CN交與F點(diǎn)。
(1)求證:AN=BM;
(2)求證:△CEF為等邊三角形;
(3)將△ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)900,其他條件不變,在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形,并判斷第(1)(2)兩小題的結(jié)論是否仍然成立,不要求證明。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖△ABC和△DEF,下列條件中①∠B=∠E=90°,AC=DF;②∠B=∠E,AB=DE,AC=DF;③在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF;④∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F;⑤∠A=∠D,BC=EF,∠C=∠F,能證明△ABC≌△DEF的是( )
A.③⑤B.①③⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,∠ABK的角平分線BE的反向延長(zhǎng)線和∠DCK的角平分線CF的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,∠K﹣∠H=27°,則∠K=( 。
A. 76° B. 78° C. 80° D. 82°
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