【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將矩形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角,得到矩形A'B'CD',B'C與AD交于點(diǎn)E,AD的延長(zhǎng)線與A′D′交于點(diǎn)F.
(1)如圖1,當(dāng)a=60°時(shí),連接DD',求DD'和A'F的長(zhǎng);
(2)如圖2,當(dāng)矩形A′B′CD′的頂點(diǎn)A'落在CD的延長(zhǎng)線上時(shí),求EF的長(zhǎng);
(3)如圖3,當(dāng)AE=EF時(shí),連接AC,CF,求證:∠ACF=90°.
【答案】(1)DD'=3;A'F= 4-;(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CD'=3,A'D'=AD=4,∠DCD'=60°,∠ADC=∠A'D'C=90°,由“HL”可證Rt△CDF≌Rt△CD'F,可得∠DCF=∠D'CF=30°,由銳角三角函數(shù)可求DF的長(zhǎng),即可求A'F的長(zhǎng);
(2)由勾股定理可求A'C=5,可得A'D=2,通過證明△ECD∽△A'CB',可得,可求DE的長(zhǎng),由平行線分線段成比例可得,可求DF的長(zhǎng),即可求EF的長(zhǎng);
(3)如圖3,過點(diǎn)F作FG⊥B'C于G,由面積法可證EF=EC=AE,由直角三角形的判定可得∠ACF=90°.
(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3,AD=BC=4,
∵將矩形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°角,
∴CD=CD'=3,A'D'=AD=4,∠DCD'=60°,∠ADC=∠A'D'C=90°,
∴△DCD'是等邊三角形,
∴DD'=CD=3,∠CDD'=∠CD'D=60°,
∴∠FDD'=∠FD'D=30°,
如圖1,連接CF,
∵CD=CD',CF=CF,
∴Rt△CDF≌Rt△CD'F(HL)
∴∠DCF=∠D'CF=30°
∵tan∠DCF=,
∴DF=3×,
∴D'F=,
∴A'F=A'D'-D'F=4-,
(2)在Rt△A'B'C中,,
∵CD=3,
∴A'D=A'C-CD=2,
∵∠DCE=∠A'CB',∠CDE=∠B'=90°,
∴△ECD∽△A'CB',
∴
∴
∴DE=
∵A'D'∥B'C
∴
∴
∴DF=
∴EF=DE+DF=
(3)如圖3,過點(diǎn)F作FG⊥B'C于G,
∴FG=CD'=3=CD,
∵S△CEF=×EF×CD=×EC×GF,
∴EF=EC
∵AE=EF,
∴AE=EF=EC,
∴△ACF是直角三角形,
∴∠ACF=90°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一條筆直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B兩地之間.甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地,乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地,在甲、乙行駛過程中,甲、乙兩車各自與C地的距離y(km)與甲車行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.則當(dāng)乙車到達(dá)A地時(shí),甲車已在C地休息了_____小時(shí).
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【題目】小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤島,媽媽在孤島P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船(如圖所示).小船從P處出發(fā),沿北偏東60°方向劃行200米到A處,接著向正南方向劃行一段時(shí)間到B處.在B處小亮觀測(cè)到媽媽所在的P處在北偏西37°的方向上,這時(shí)小亮與媽媽相距多少米(精確到1米)?
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)
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【題目】如圖,港口在觀測(cè)站的正東方向處,某船從港口出發(fā),沿東偏北方向勻速航行2小時(shí)后到達(dá)處,此時(shí)從觀測(cè)站處測(cè)得該船位于北偏東的方向,求該船航行的速度.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=6,E為AB邊上一點(diǎn),F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),將△BEF沿EF翻折,使點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處,FG與CD交于點(diǎn)H,連接BH,與EF交于點(diǎn)M,若BH平分∠CHG,AG=4,則EM=_____.
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【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中.
(1)作出△ABC關(guān)于軸對(duì)稱的,并寫出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)直接寫出△ABC的面積為 ;
(3)在x軸上畫點(diǎn)P,使PA+PC最。
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【題目】近日,國(guó)產(chǎn)航母山東艦成為了新晉網(wǎng)紅,作為我國(guó)本世紀(jì)建造的第一艘真正意義上的國(guó)產(chǎn)航母,承載了我們太多期盼,促使我國(guó)在偉大復(fù)興路上加速前行如圖,山東艦在一次測(cè)試中,巡航到海島A北偏東60°方向P處,發(fā)現(xiàn)在海島A正東方向有一可疑船只B正沿BA方向行駛。山東艦經(jīng)測(cè)量得出:可疑船只在P處南偏東45°方向,距P處海里。山東艦立即從P沿南偏西30°方向駛出,剛好在C處成功攔截可疑船只。求被攔截時(shí),可疑船只距海島A還有多少海里?(,結(jié)果精確到0.1海里)
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【題目】在生活中,有很多函數(shù)并不一定存在解析式,對(duì)于這樣的函數(shù),我們可以通過列表和圖象來對(duì)它可能存在的性質(zhì)進(jìn)行探索,例如下面這樣一個(gè)問題:
已知y是x的函數(shù),下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.
x | … | ﹣5 | ﹣4 | ﹣3 | ﹣2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
y | … | 1.969 | 1.938 | 1.875 | 1.75 | 1 | 0 | ﹣2 | ﹣1.5 | 0 | 2.5 | … |
小孫同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),利用上述表格反映出的y與x之間的變化規(guī)律,對(duì)該函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.
下面是小孫同學(xué)的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整;
(1)如圖,在平面之間坐標(biāo)系xOy中,描出了以上表中各對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),根據(jù)描出的點(diǎn),畫出函數(shù)的圖象:
(2)根據(jù)畫出的函數(shù)圖象回答:
①x=﹣1時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的為 ;
②若函數(shù)值y>0,則x的取值范圍是 ;
③寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)(不能與前面已有的重復(fù)): .
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【題目】如圖所示,小剛家,菜地,稻田在同一條直線上.小剛從家去菜地澆水,又去稻田除草,然后回家.如圖反映了這個(gè)過程中,小剛離家的距離y與時(shí)間x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.如果菜地和稻田的距離為akm,小剛在稻田除草比在菜地澆水多用了bmin,則a,b的值分別為( 。
A.1,8B.0.5,12C.1,12D.0.5,8
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