Question

【題目】如圖①，直線y＝﹣x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，連接OP，AP．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若△AOP的面積是3，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖②，動點(diǎn)M，N同時從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)M以1個單位長度/秒的速度沿x軸正半軸方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)N以個單位長度/秒的速度沿y軸正半軸方向勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，過點(diǎn)N作NE∥x軸交直線AB于點(diǎn)E．若設(shè)運(yùn)動時間為t秒，是否存在某一時刻，使四邊形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x+2；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2+，3）或（2﹣，3）；（3）存在t＝，理由見解析．

【解析】

（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，所以設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a（x-2）2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式，即可求解；
（2）△AOP的面積=×OA×yP=×2×yP=3，解得：yP=3，即可求解；
（3）t秒時，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：（t，0）、（0，t），則點(diǎn)E（2-t，t），而點(diǎn)N（0，t），故NE=2-t，當(dāng)四邊形AMNE是菱形時，NE=MN，即可求解．

（1）y＝﹣x+2，令x＝0，則y＝2，令y＝0，則x＝2，

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（2，0）、（0，2），

∵拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)A（2，0），

∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣2）2，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：2＝a（0﹣2）2，解得：a＝，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2；

（2）∵點(diǎn)A（2，0），則OA＝2，

∴△AOP的面積＝×OA×yP＝2×yP＝3，

解得：yP＝3，

則yP＝3＝（x﹣2）2，解得：x＝2，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2+，3）或（2﹣，3）；

（3）存在，理由：

由題意得：t秒時，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：（t，0）、（0，t），

當(dāng)y＝t時，y＝t＝﹣x+2，解得：x＝2﹣t，故點(diǎn)E（2﹣t，t），

而點(diǎn)N（0，t），故NE＝2﹣t，

當(dāng)四邊形AMNE是菱形時，NE＝MN，

即t2+（t）2＝（2﹣t）2，

解得：t＝或﹣2（舍去﹣2），

故t＝．