【題目】閱讀下列材料:問題:如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,∠ABC=∠BEF=60°,點A,B,E在同一條直線上,P是線段DF的中點,連接PG,PC,探究PG與PC的位置關(guān)系
小穎同學的思路是:延長GP交DC于點H,構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過推理使問題得到解決.
請你參考小穎同學的思路,探究并解決下列問題:
(1)請你寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系;
(2)將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn),使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上,原問題申的其他條件不變(如圖2).你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?寫出你的猜想并加以證明,
【答案】(1)線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC,理由見解析;(2)猜想:(1)中的結(jié)論沒有發(fā)生變化,證明見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意可知小穎的思路為,通過判定三角形DHP和PGF為全等三角形來得出證明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點的條件;
(2)思路同上,延長GP交AD于點H,連接CH,CG,本題中除了如(1)中證明△GFP≌△HDP(得到P是HG中點)外還需證明△HDC≌△GBC(得出三角形CHG是等腰三角形).
試題解析:(1)線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC.
理由:延長GP,交CD于點H,
∵四邊形ABCD與四邊形BEFG是菱形,
∴CD∥AB∥GF,
∴∠PDH=∠PFG,∠DHP=∠PGF,
∵P是線段DF的中點,
∴DP=PF,
在△DPH和△FGP中,
,
∴△DPH≌△FGP(AAS),
∴PH=PG,DH=GF,
∵CD=BC,GF=GB=DH,
∴CH=CG,
∴CP⊥HG,
即PG⊥PC;
(2)猜想:(1)中的結(jié)論沒有發(fā)生變化.
證明:如圖,延長GP交AD于點H,連接CH,CG,
∵P是線段DF的中點,
∴FP=DP,
∵AD∥FG,
∴∠GFP=∠HDP.
又∠GPF=∠HPD,
∴△GFP≌△HDP
∴GP=HP,GF=HD,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴CD=CB,∠HDC=∠ABC=60°.
由∠ABC=∠BEF=60°,且菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上,
∴∠GBC=60°.
∴∠HDC=∠GBC.
∵四邊形BEFG是菱形,
∴GF=GB.
∵△HDC≌△GBC.
∴CH=CG.
∴PH=PG,PG⊥PC.
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【題目】①若,則;②整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù);③絕對值等于它本身的整數(shù)是0;④是二次三項式;⑤幾個有理數(shù)相乘,當負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時,積一定為負數(shù),其中判斷正確的有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】如圖,已知點A(﹣4,8)和點B(2,n)在拋物線y=ax2上.
(1)求a的值及點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標,并在x軸上找一點Q,使得AQ+QB最短,求出點Q的坐標;
(2)平移拋物線y=ax2,記平移后點A的對應點為A′,點B的對應點為B′,點C(﹣2,0)和點D(﹣4,0)是x軸上的兩個定點.
①當拋物線向左平移到某個位置時,A′C+CB′最短,求此時拋物線的函數(shù)解析式;
②當拋物線向左或向右平移時,是否存在某個位置,使四邊形A′B′CD的周長最短?若存在,求出此時拋物線的函數(shù)解析式;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,邊AB的垂直平分線交AD于點E,交CB的延長線于點F,連接AF,BE.試判斷四邊形AFBE的形狀,并說明理由.
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【題目】(本題10分)為積極響應政府提出的“綠色發(fā)展低碳出行”號召,某自行車廠決定生產(chǎn)一批共享單車投入市場.該廠原計劃一周生產(chǎn)1400輛共享單車,平均每天生產(chǎn)200輛,由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入.下表是某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負):
⑴根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn) 輛;
⑵產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn) 輛;
⑶該廠實行每周計件工資制,每生產(chǎn)一輛車可得60元,若超額完成任務,則超過部分每輛另獎15元;少生產(chǎn)一輛扣15元,那么該廠工人這一周的工資總額是多少?
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【題目】觀察下面的點陣圖和相應的等式,探究其中的規(guī)律:
(1)在④和⑤后面的橫線上分別寫出相應的等式;
(2)試用含有n的式子表示第n個等式: ;(n為正整數(shù))
(3)請用上述規(guī)律計算:
①1+3+5+…+49;
②101+103+105+…+197+199.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為(10,0),(0,4),點D是OA的中點,點P在BC上運動,當△ODP是腰長為5的等腰三角形時,點P的坐標為______.
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【題目】我國是水資源比較貧乏的國家之一,為了加強公民的節(jié)水意識,合理利用水資源,某市采用價格調(diào)控的手段來達到節(jié)約用水的目的,規(guī)定如下用水收費標準:每戶每月的用水不超過20立方米(含20立方米)時,水費按“基本價”收費:超過20立方米時,不超過的部分仍按“基本價”收費,超過部分按“調(diào)節(jié)價”收費.某戶居民今年4、5月份的用水量和水費如下表所示:
月份 | 用水量(立方米) | 水費(元) |
4 | 20 | 42 |
5 | 24 | 56.40 |
(1)請你算一算該市水費的“調(diào)節(jié)價”每立方米多少元?
(2)若該戶居民6月份用水量為30立方米,請算一算,6月份水費是多少元?
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