【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB=90°,AC=8cmAB=10cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以5cm/s的速度從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B;同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以3cm/s的速度從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B,連結(jié)PQ;過(guò)點(diǎn)PPDACAC于點(diǎn)D,將APD沿PD翻折得到A′PD,以A′PPB為鄰邊作A′PBE,A′E交射線BC于點(diǎn)F,交射線PQ于點(diǎn)G.設(shè)A′PBE與四邊形PDCQ重疊部分圖形的面積為Scm2,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts

1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合;

2)用含t的代數(shù)式表示QF的長(zhǎng);

3)求St的函數(shù)關(guān)系式;

4)請(qǐng)直接寫出當(dāng)射線PQA′PBE分成的兩部分圖形的面積之比是13時(shí)t的值.

【答案】1t=12)當(dāng)0t≤時(shí),QF=69t;當(dāng)t2時(shí),QF=9t6

當(dāng)0t≤時(shí),S=12t2;當(dāng)t≤1時(shí),S=42t2+72t24:當(dāng)1t2時(shí),S=6t224t+24

t的值為秒或秒.

【解析】

1)易證ADP∽△ACB,從而可得AD=4t,由折疊可得AA′=2AD=8t,由點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合可得8t=8,從而可以求出t的值.

2)根據(jù)點(diǎn)F的位置不同,可分點(diǎn)FBQ上(不包括點(diǎn)B)、在CQ上(不包括點(diǎn)Q)、在BC的延長(zhǎng)線上三種情況進(jìn)行討論,就可解決問(wèn)題.

3)根據(jù)點(diǎn)F的位置不同,可分點(diǎn)FBQ上(不包括點(diǎn)B)、在CQ上(不包括點(diǎn)Q)、在BC的延長(zhǎng)線上三種情況進(jìn)行討論,就可解決問(wèn)題.

4)可分①SA′PGS四邊形PBEG=13,如圖7,②SBPNS四邊形PNEA′=13,如圖8,兩種情況進(jìn)行討論,就可解決問(wèn)題.

試題

試題解析:(1)如圖1

由題可得:PA′=PA=5t,CQ=3t,AD=A′D

∵∠ACB=90°AC=8,AB=10,∴BC=6

∵∠ADP=ACB=90°,

PDBC

∴△ADP∽△ACB

AD=4t,PD=3t

AA′=2AD=8t

當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合時(shí),AA′=AC

8t=8

t=1

2)①當(dāng)點(diǎn)F在線段BQ上(不包括點(diǎn)B)時(shí),如圖1,

則有CQ≤CFCB

∵四邊形A′PBE是平行四邊形,

A′EBP

∴△CA′F∽△CAB

CF=66t

3t≤66t6

0t≤

此時(shí)QF=CFCQ=66t3t=69t

②當(dāng)點(diǎn)F在線段CQ上(不包括點(diǎn)Q)時(shí),如圖2

則有0≤CFCQ

CF=66t,CQ=3t

0≤66t3t

t≤1

此時(shí)QF=CQCF=3t﹣(66t=9t6

③當(dāng)點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3

則有AA′AC,且APAB

8t8,且5t10

1t2

同理可得:CF=6t6

此時(shí)QF=QC+CF=3t+6t6=9t6

綜上所述:當(dāng)0t≤時(shí),QF=69t;當(dāng)t2時(shí),QF=9t6

3)①當(dāng)0t≤時(shí),

過(guò)點(diǎn) A′A′MPG,垂足為M,如圖4,

則有A′M=CQ=3t

,

∵∠PBQ=ABC,

∴△BPQ∽△BAC

∴∠BQP=BCA

PQAC

APA′G

∴四邊形APGA′是平行四邊形.

PG=AA′=8t

S=SA′PG=PGA′M

=×8t×3t=12t2

②當(dāng)t≤1時(shí),

過(guò)點(diǎn) A′A′MPG,垂足為M,如圖5,

則有A′M=QC=3t,PQ=DC=84t,PG=AA′=8t,QG=PGPQ=12t8QF=9t6..

S=SA′PGSGQF

=PGA′MQGQF

=×8t×3t×12t8×9t6

=42t2+72t24

③當(dāng)1t2時(shí),如圖6

PQAC,PA=PA′

∴∠BPQ=PAA′,∠QPA′=PA′A,∠PAA′=PA′A

∴∠BPQ=QPA′

∵∠PQB=PQS=90°,

∴∠PBQ=PSQ

PB=PS

BQ=SQ

SQ=63t

S=SPQS=PQQS=×84t×63t=6t224t+24

綜上所述:當(dāng)0t≤時(shí),S=12t2;當(dāng)t≤1時(shí),S=42t2+72t24:當(dāng)1t2時(shí),S=6t224t+24

4)①若SA′PGS四邊形PBEG=13,

過(guò)點(diǎn)A′A′MPG,垂足為M,過(guò)點(diǎn)A′A′TPB,垂足為T,如圖7

則有A′M=PD=QC=3t,PG=AA′=8t

SA′PG=×8t×3t=12t2

SAPA′=APA′T=AA′PD

A′T=

SPBEA′=PBA′T=105t×=24t2t).

SA′PGS四邊形PBEG=13

SA′PG=×SPBEA′

12t2=×24t2t).

t0,

<>t=

②若SBPNS四邊形PNEA′=13,如圖8,

同理可得:∠BPQ=A′PQBQ=63t,PQ=84tSPBEA′=24t2t).

∵四邊形PBEA′是平行四邊形,

BEPA′

∴∠BNP=NPA′

∴∠BPN=BNP

BP=BN

∵∠BQP=BQN=90°,

PQ=NQ

SBPN=PNBQ=PQBQ

=84t×63t).

SBPNS四邊形PNEA′=13,

SBPN=×SPBEA′

∴(84t×63t=×24t2t).

t2,

t=

綜上所述:當(dāng)射線PQA′PBE分成的兩部分圖形的面積之比是13時(shí),t的值為秒或秒.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】山西省每年的體育考試分成必考科目與選考科目?jī)刹糠郑渲羞x考科目是從一分鐘跳繩、擲實(shí)心球、坐位體前屈、仰臥起坐四個(gè)項(xiàng)目中選取一項(xiàng).王紅與李麗是一對(duì)好朋友且都在2020年參加中考,實(shí)心球是她倆的弱項(xiàng),其他三項(xiàng)都非常強(qiáng),體育考試選考的四個(gè)項(xiàng)目中,她倆一定不會(huì)選實(shí)心球.

1)王紅在選考項(xiàng)目中,選中坐位體前屈的概率是

2)王紅與李麗選取同一個(gè)選考項(xiàng)目的概率是多少? (在畫樹狀圖或列表時(shí),“一分鐘跳繩"用“”表示,“坐位體前屈”用“"表示,“仰臥起坐”用“”表示,“擲實(shí)心球”用“”表示)

3)通過(guò)對(duì)我省某市2020年參加中考的學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)該市選擇“坐位體前屈”的學(xué)生的頻率穩(wěn)定在左右,已知該市有人參加2020年中考體育,請(qǐng)由此估計(jì)該市這名學(xué)生中選擇“坐位體前屈”的人數(shù).

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【題目】我們把兩邊之比為整數(shù)的三角形稱為倍比三角形.其中,這個(gè)整數(shù)比稱為倍比,第三條邊叫做該三角形的底.

1)如圖1,ABC是以AC為底的倍比三角形,倍比為3,若∠C=90°,AC=2,求BC的長(zhǎng);

2)如圖2,ABC中,DBC邊上一點(diǎn),BD=3,CD=1,連結(jié)AD.若AC=2,求證:ABD是倍比三角形,并求出倍比;

3)如圖3,菱形ABCD中,∠BAD為鈍角,P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)PPHCDH、當(dāng)CP+PH的值最小時(shí),APCD恰好是以PD為底的倍比三角形,記倍比為x,=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

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【題目】已知關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解,且反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)的增大而增大,那么反比例函數(shù)的關(guān)系式為( )

A. B. C. D.

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【題目】如圖,在平面直角標(biāo)系中,拋物線Cyx軸交于AB兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)Dy軸正半軸上一點(diǎn).且滿足ODOC,連接BD,

1)如圖1,點(diǎn)P為拋物線上位于x軸下方一點(diǎn),連接PBPD,當(dāng)SPBD最大時(shí),連接AP,以PB為邊向上作正BPQ,連接AQ,點(diǎn)M與點(diǎn)N為直線AQ上的兩點(diǎn),MN2且點(diǎn)N位于M點(diǎn)下方,連接DN,求DN+MN+AM的最小值

2)如圖2,在第(1)問(wèn)的條件下,點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E,將BOE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到B′O′E′,將拋物線y沿著射線PA方向平移,使得平移后的拋物線C′經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,此時(shí)拋物線C′x軸的右交點(diǎn)記為點(diǎn)F,連接E′FB′F,R為線段E’F上的一點(diǎn),連接B′R,將B′E′R沿著B′R翻折后與B′E′F重合部分記為B′RT,在平面內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)S,使得以B′、RT、S為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,求點(diǎn)S的坐標(biāo).

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【題目】綜合與探究:

已知二次函數(shù)y=﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C

1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);

2)求證:ABC為直角三角形;

3)如圖,動(dòng)點(diǎn)E,F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),其中點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AC方向運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)F停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,連結(jié)EF,將AEF沿EF翻折,使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,得到DEF.當(dāng)點(diǎn)FAC上時(shí),是否存在某一時(shí)刻t,使得DCO≌△BCO?(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合)若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】從甲、乙、丙三名同學(xué)中隨機(jī)抽取環(huán)保志愿者,求下列事件的概率:

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2)抽取2名,甲在其中.

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【題目】如圖,等腰直角△OEF在坐標(biāo)系中,有E(0,2),F(20),將直角△OEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE,且A在第一象限內(nèi),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,E.且2a+3b+5=0

1)求拋物線的解析式.

2)過(guò)ED的中點(diǎn)O'O'BOEBO'CODC,求證:OBO'C為正方形.

3)如果點(diǎn)PE開始沿EA邊以每秒2厘米的速度向點(diǎn)A移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A沿AD邊以每秒1厘米的速度向點(diǎn)D移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止,且過(guò)PGPAE,交DE于點(diǎn)G,設(shè)移動(dòng)的開始后為t秒.

S=PQ2(厘米),試寫出St之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍?

當(dāng)S取最小時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn)R,使得以P,A,Q,R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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