Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以5cm/s的速度從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以3cm/s的速度從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B，連結(jié)PQ；過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC交AC于點(diǎn)D，將△APD沿PD翻折得到△A′PD，以A′P和PB為鄰邊作A′PBE，A′E交射線BC于點(diǎn)F，交射線PQ于點(diǎn)G．設(shè)A′PBE與四邊形PDCQ重疊部分圖形的面積為Scm2，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合；

（2）用含t的代數(shù)式表示QF的長(zhǎng)；

（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）請(qǐng)直接寫出當(dāng)射線PQ將A′PBE分成的兩部分圖形的面積之比是1：3時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）t=1（2）當(dāng)0＜t≤時(shí)，QF=6﹣9t；當(dāng)＜t＜2時(shí)，QF=9t﹣6．

當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=12t2；當(dāng)＜t≤1時(shí)，S=﹣42t2+72t﹣24：當(dāng)1＜t＜2時(shí)，S=6t2﹣24t+24．

t的值為秒或秒．

【解析】

（1）易證△ADP∽△ACB，從而可得AD=4t，由折疊可得AA′=2AD=8t，由點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合可得8t=8，從而可以求出t的值．

（2）根據(jù)點(diǎn)F的位置不同，可分點(diǎn)F在BQ上（不包括點(diǎn)B）、在CQ上（不包括點(diǎn)Q）、在BC的延長(zhǎng)線上三種情況進(jìn)行討論，就可解決問(wèn)題．

（3）根據(jù)點(diǎn)F的位置不同，可分點(diǎn)F在BQ上（不包括點(diǎn)B）、在CQ上（不包括點(diǎn)Q）、在BC的延長(zhǎng)線上三種情況進(jìn)行討論，就可解決問(wèn)題．

（4）可分①S△A′PG：S四邊形PBEG=1：3，如圖7，②S△BPN：S四邊形PNEA′=1：3，如圖8，兩種情況進(jìn)行討論，就可解決問(wèn)題．

試題

試題解析：（1）如圖1，

由題可得：PA′=PA=5t，CQ=3t，AD=A′D．

∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．

∵∠ADP=∠ACB=90°，

∴PD∥BC．

∴△ADP∽△ACB．

∴．

∴．

∴AD=4t，PD=3t．

∴AA′=2AD=8t．

當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合時(shí)，AA′=AC．

∴8t=8．

∴t=1．

（2）①當(dāng)點(diǎn)F在線段BQ上（不包括點(diǎn)B）時(shí)，如圖1，

則有CQ≤CF＜CB．

∵四邊形A′PBE是平行四邊形，

∴A′E∥BP．

∴△CA′F∽△CAB．

∴ ．

∴．

∴CF=6﹣6t．

∴3t≤6﹣6t＜6．

∴0＜t≤ ．

此時(shí)QF=CF﹣CQ=6﹣6t﹣3t=6﹣9t．

②當(dāng)點(diǎn)F在線段CQ上（不包括點(diǎn)Q）時(shí)，如圖2，

則有0≤CF＜CQ．

∵CF=6﹣6t，CQ=3t，

∴0≤6﹣6t＜3t．

∴＜t≤1．

此時(shí)QF=CQ﹣CF=3t﹣（6﹣6t）=9t﹣6．

③當(dāng)點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，

則有AA′＞AC，且AP＜AB．

∴8t＞8，且5t＜10．

∴1＜t＜2．

同理可得：CF=6t﹣6．

此時(shí)QF=QC+CF=3t+6t﹣6=9t﹣6．

綜上所述：當(dāng)0＜t≤時(shí)，QF=6﹣9t；當(dāng)＜t＜2時(shí)，QF=9t﹣6．

（3）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，

過(guò)點(diǎn) A′作A′M⊥PG，垂足為M，如圖4，

則有A′M=CQ=3t．

∵，

∴，

∵∠PBQ=∠ABC，

∴△BPQ∽△BAC．

∴∠BQP=∠BCA．

∴PQ∥AC．

∵AP∥A′G．

∴四邊形APGA′是平行四邊形．

∴PG=AA′=8t．

∴S=S△A′PG=PGA′M

=×8t×3t=12t2．

②當(dāng)＜t≤1時(shí)，

過(guò)點(diǎn) A′作A′M⊥PG，垂足為M，如圖5，

則有A′M=QC=3t，PQ=DC=8﹣4t，PG=AA′=8t，QG=PG﹣PQ=12t﹣8，QF=9t﹣6．．

∴S=S△A′PG﹣S△GQF

=PGA′M﹣QGQF

=×8t×3t﹣×（12t﹣8）×（9t﹣6）

=﹣42t2+72t﹣24．

③當(dāng)1＜t＜2時(shí)，如圖6，

∵PQ∥AC，PA=PA′

∴∠BPQ=∠PAA′，∠QPA′=∠PA′A，∠PAA′=∠PA′A．

∴∠BPQ=∠QPA′．

∵∠PQB=∠PQS=90°，

∴∠PBQ=∠PSQ．

∴PB=PS．

∴BQ=SQ．

∴SQ=6﹣3t．

∴S=S△PQS=PQQS=×（8﹣4t）×（6﹣3t）=6t2﹣24t+24．

綜上所述：當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=12t2；當(dāng)＜t≤1時(shí)，S=﹣42t2+72t﹣24：當(dāng)1＜t＜2時(shí)，S=6t2﹣24t+24．

（4）①若S△A′PG：S四邊形PBEG=1：3，

過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥PG，垂足為M，過(guò)點(diǎn)A′作A′T⊥PB，垂足為T，如圖7，

則有A′M=PD=QC=3t，PG=AA′=8t．

∴S△A′PG=×8t×3t=12t2．

∵S△APA′=APA′T=AA′PD，

∴A′T=

∴SPBEA′=PBA′T=（10﹣5t）×=24t（2﹣t）．

∵S△A′PG：S四邊形PBEG=1：3，

∴S△A′PG=×SPBEA′．

∴12t2=×24t（2﹣t）．

∵t＞0，

<>∴t=．

②若S△BPN：S四邊形PNEA′=1：3，如圖8，

同理可得：∠BPQ=∠A′PQ，BQ=6﹣3t，PQ=8﹣4t，SPBEA′=24t（2﹣t）．

∵四邊形PBEA′是平行四邊形，

∴BE∥PA′．

∴∠BNP=∠NPA′．

∴∠BPN=∠BNP．

∴BP=BN．

∵∠BQP=∠BQN=90°，

∴PQ=NQ．

∴S△BPN=PNBQ=PQBQ

=（8﹣4t）×（6﹣3t）．

∵S△BPN：S四邊形PNEA′=1：3，

∴S△BPN=×SPBEA′．

∴（8﹣4t）×（6﹣3t）=×24t（2﹣t）．

∵t＜2，

∴t=．

綜上所述：當(dāng)射線PQ將A′PBE分成的兩部分圖形的面積之比是1：3時(shí)，t的值為秒或秒．