【題目】綜合與探究:
已知二次函數(shù)y=﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A,B兩點(點B在點A的左側(cè)),與y軸交于點C.
(1)求點A,B,C的坐標(biāo);
(2)求證:△ABC為直角三角形;
(3)如圖,動點E,F同時從點A出發(fā),其中點E以每秒2個單位長度的速度沿AB邊向終點B運動,點F以每秒個單位長度的速度沿射線AC方向運動.當(dāng)點F停止運動時,點E隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒,連結(jié)EF,將△AEF沿EF翻折,使點A落在點D處,得到△DEF.當(dāng)點F在AC上時,是否存在某一時刻t,使得△DCO≌△BCO?(點D不與點B重合)若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)點A的坐標(biāo)為(4,0),點B的坐標(biāo)為(﹣1,0),點C的坐標(biāo)為(0,2);(2)證明見解析;(3)t=.
【解析】
(1)利用x=0和y=0解方程即可求出A、B、C三點坐標(biāo);
(2)先計算△ABC的三邊長,根據(jù)勾股定理的逆定理可得結(jié)論;
(3)先證明△AEF∽△ACB,得∠AEF=∠ACB=90°,確定△AEF沿EF翻折后,點A落在x軸上點D處,根據(jù)△DCO≌△BCO時,BO=OD,列方程4-4t=1,可得結(jié)論.
(1)解:當(dāng)y=0時,﹣x+2=0,
解得:x1=1,x2=4,
∴點A的坐標(biāo)為(4,0),點B的坐標(biāo)為(﹣1,0),
當(dāng)x=0時,y=2,
∴點C的坐標(biāo)為(0,2);
(2)證明:∵A(4,0),B(﹣1,0),C(0,2),
∴OA=4,OB=1,OC=2.
∴AB=5,AC==,
∴AC2+BC2=25=AB2,
∴△ABC為直角三角形;
(3)解:由(2)可知△ABC為直角三角形.且∠ACB=90°,
∵AE=2t,AF=t,
∴,
又∵∠EAF=∠CAB,
∴△AEF∽△ACB,
∴∠AEF=∠ACB=90°,
∴△AEF沿EF翻折后,點A落在x軸上點 D處,
由翻折知,DE=AE,
∴AD=2AE=4t,
當(dāng)△DCO≌△BCO時,BO=OD,
∵OD=4﹣4t,BO=1,
∴4﹣4t=1,t=,
即:當(dāng)t=秒時,△DCO≌△BCO.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,CD,CE分別是斜邊AB上的高,中線,BC=a,AC=b.
(1)若a=3,b=4,求DE的長;
(2)直接寫出:CD= (用含a,b的代數(shù)式表示);
(3)若b=3,tan∠DCE=,求a的值.
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【題目】 如圖,AB是⊙O的直徑,點E是AD上的一點,∠DBC=∠BED
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)已知AD=3,CD=1,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,對稱軸為直線x=-1的拋物線y=a(x-h)-4(a≠0)與x軸相交于A、B兩點,與y軸交于點C,其中點A的坐標(biāo)為(-3,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點P在拋物線上,且S△POC=4S△BOC.求點P的坐標(biāo);
(3)設(shè)點Q是線段AC上的動點,作QD⊥x軸交拋物線于點D,求線段QD長度的最大值.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=x2+(2k﹣1)x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B,使△AOB的面積等于6,求點B的坐標(biāo);
(3)對于(2)中的點B,在此拋物線上是否存在點P,使∠POB=90°?若存在,求出點P的坐標(biāo),并求出△POB的面積;若不存在,請說明理由.
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【題目】對于實數(shù)a和b,定義新運算“@”:a@b=
(1)計算20182018@(8@28)的值;
(2)若(x﹣1)@(3﹣2x)=2,求實數(shù)x的值;
(3)設(shè)函數(shù)y1=(2﹣x2)@(4x﹣x2),若函數(shù)y2=y1﹣m的圖象與x軸恰有兩個交點,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖,半圓的圓心與坐標(biāo)原點重合,半圓的半徑1,直線的解析式為若直線與半圓只有一個交點,則t的取值范圍是________.
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【題目】“雙十一購物狂歡節(jié)”來臨之際,某超市擬舉辦購物促銷活動,從分店調(diào)動了20名店員參與總店活動,其中男店員8人,女店員12人.
(1)若從這20人中隨機選取一人作為宣傳人員,求選到女店員的概率;
(2)分店的某活動中需要甲、乙兩店員中選一人參與,他們準(zhǔn)備以游戲的方式?jīng)Q定由誰參加,游戲規(guī)則如下:將四張牌面數(shù)字分別為2,3,4,5的撲克牌洗勻后,數(shù)字朝下放于桌面,從中任取2張,若牌面數(shù)字之和為偶數(shù),則甲參加,否則乙參加,請用樹狀圖或列表法分別求出甲、乙兩人參加這項活動的概率.
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