【題目】如圖,在平面直角標(biāo)系中,拋物線Cyx軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)Dy軸正半軸上一點(diǎn).且滿足ODOC,連接BD,

1)如圖1,點(diǎn)P為拋物線上位于x軸下方一點(diǎn),連接PB,PD,當(dāng)SPBD最大時(shí),連接AP,以PB為邊向上作正BPQ,連接AQ,點(diǎn)M與點(diǎn)N為直線AQ上的兩點(diǎn),MN2且點(diǎn)N位于M點(diǎn)下方,連接DN,求DN+MN+AM的最小值

2)如圖2,在第(1)問的條件下,點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E,將BOE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到B′O′E′,將拋物線y沿著射線PA方向平移,使得平移后的拋物線C′經(jīng)過點(diǎn)E,此時(shí)拋物線C′x軸的右交點(diǎn)記為點(diǎn)F,連接E′F,B′FR為線段E’F上的一點(diǎn),連接B′R,將B′E′R沿著B′R翻折后與B′E′F重合部分記為B′RT,在平面內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)S,使得以B′、RT、S為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,求點(diǎn)S的坐標(biāo).

【答案】解:(1);(2)(,3+)或(﹣,)或(﹣2,2).

【解析】

1)由拋物線解析式求點(diǎn)A、BC坐標(biāo),由OD=OC求點(diǎn)D坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t,可用待定系數(shù)法求得用t表示的直線PB解析式,即能用t表示PBy軸交點(diǎn)G的坐標(biāo),進(jìn)而用t表示DG的長.以DG為界把PBD分成左右兩邊的PDGBDG,則以DG為底計(jì)算易求得PBD面積與t的二次函數(shù)關(guān)系式,求對(duì)稱軸即得到PBD最大時(shí)t的值,進(jìn)而得到點(diǎn)P坐標(biāo).求得∠ABP=30°,即x軸平分∠PBQ,故點(diǎn)PQ關(guān)于x軸對(duì)稱,得到點(diǎn)Q坐標(biāo),進(jìn)而得到直線AQ解析式,發(fā)現(xiàn)∠QAB=PAB=60°.作直線AP,可得直線AQAP夾角為60°,過點(diǎn)MMHAPH,即構(gòu)造出特殊RtMAN,得到MH=AM.把點(diǎn)D平移到D',使DD'MNDD'=MN,構(gòu)造平行四邊形MNDD',故DN=D'M.所以DN+MN+AM可轉(zhuǎn)化為MN+D'M+MH.易得當(dāng)點(diǎn)D'、M、H在同一直線上時(shí),線段和會(huì)最短,即過D'D'KAPKD'K的值為所求.根據(jù)平移性質(zhì)求D'坐標(biāo),求直線D'K與直線AP解析式,聯(lián)立方程組求得K的坐標(biāo),即求得D'K的長.

2)拋物線平移不改變開口方向和大小,再求得點(diǎn)E坐標(biāo)和點(diǎn)A坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求平移后的解析式,進(jìn)而求得點(diǎn)F.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得ABB'AEE'為等邊三角形,求出點(diǎn)E'、B'坐標(biāo),B'Fx軸且B'E'F為含30°的直角三角形.把點(diǎn)RE'移動(dòng)到F的過程,發(fā)現(xiàn)∠RB'T一定小于90°,不可能成為矩形內(nèi)角,故只能是∠B'RT或∠B'TR=90°.點(diǎn)T可以在E'F上,也可以在B'F上,畫出圖形,根據(jù)含30°的直角三角形三邊關(guān)系計(jì)算各線段長,即能求點(diǎn)S坐標(biāo).

解:(1)如圖1,過點(diǎn)DDD'MN,且DD'MN2,連接D'M;過點(diǎn)D'D'Jy軸于點(diǎn)J;

作直線AP,過點(diǎn)MMHAP于點(diǎn)H,過點(diǎn)D'D'KAP于點(diǎn)K

y0

解得:x1=﹣3,x21

A(﹣30),B1,0

x0時(shí),y=﹣

C0,﹣),OC

ODOC,D0,

設(shè)Pt, t2+t)(﹣3t1

設(shè)直線PB解析式為ykx+b,與y軸交于點(diǎn)G

解得:

∴直線PBy=(t+xtG0,﹣t

DG﹣(﹣t)=t+

SBPDSBDG+SPDGDGxB+DG|xP|DGxBxP)=t+)(1t)=﹣t2+4t5

t=﹣=﹣2時(shí),SBPD最大

P(﹣2,﹣),直線PB解析式為yx,直線AP解析式為y=﹣x3

tanABP

∴∠ABP30°

∵△BPQ為等邊三角形

∴∠PBQ60°,BPPQBQ

BA平分∠PBQ

PQx軸,PQx軸交點(diǎn)IPQ中點(diǎn)

Q(﹣2,

RtAQI中,tanQAI

∴∠QAI=∠PAI60°

∴∠MAH180°﹣∠PAI﹣∠QAI60°

MHAP于點(diǎn)H

RtAHM90°,sinMAH

MHAM

DD'MNDD'MN2

∴四邊形MNDD'是平行四邊形

D'MDN

DN+MN+AM2+D'M+MH

D'KAP于點(diǎn)K

∴當(dāng)點(diǎn)D'、MH在同一直線上時(shí),DN+MN+AM2+D'M+MH2+D'K最短

DD'MN,D0,

∴∠D'DJ30°

D'JDD'1,DJDD'

D'1,

∵∠PAI60°,∠ABP30°

∴∠APB180°﹣∠PAI﹣∠ABP90°

PBD'K

設(shè)直線D'K解析式為yx+d,

把點(diǎn)D'代入得: +d

解得:d

∴直線D'Kyx+

把直線AP與直線D'K解析式聯(lián)立得:

解得:

K(﹣

D'K

DN+MN+AM的最小值為

2)連接B'A、BB'、EAE'A、EE',如圖2

∵點(diǎn)C0,﹣)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E

E0,

tanEAB

∴∠EAB30°

∵拋物線C'由拋物線C平移得到,且經(jīng)過點(diǎn)E

∴設(shè)拋物線C'解析式為:yx2+mx+

∵拋物線C'經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,0

×93m+0

解得:m

∴拋物線C'解析式為:yx2+x+

x2+x+0,解得:x1=﹣3,x2=﹣1

F(﹣1,0

∵將△BOE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△B′O′E′

∴∠BAB'=∠EAE'60°AB'AB1﹣(﹣3)=4,AE'AE

∴△ABB'、△AEE'是等邊三角形

∴∠E'AB=∠E'AE+EAB90°,點(diǎn)B'AB的垂直平分線上

E'(﹣3,2),B'(﹣1,2

B'E'2,∠FB'E'90°,E'F

∴∠B'FE'30°,∠B'E'F60°

①如圖3,點(diǎn)TE'F上,∠B'TR90°

過點(diǎn)SSWB'E'于點(diǎn)W,設(shè)翻折后點(diǎn)E'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E'

∴∠E'B'T30°,B'TB'E'

∵△B′E′R翻折得△B'E'R

∴∠B'E'R=∠B'E'R60°B'E'B'E'2

E'TB'E'B'T2

RtRTE'中,RTE'T23

∵四邊形RTB'S是矩形

∴∠SB'T90°SB'RT23

∴∠SB'W=∠SB'T﹣∠E'B'T60°

B'WSB',SWSB'3

xSxB'B'WySyB'+SW3+

S,3+

②如圖4,點(diǎn)TE'F上,∠B'RT90°

過點(diǎn)SSXB'F于點(diǎn)X

E'RB'E'1,點(diǎn)E'翻折后落在E'F上即為點(diǎn)T

B'SRTE'R1

∵∠SB'X90°﹣∠RB'F30°

XSB'S,B'XB'S

xSxB'+XS=﹣,ySyB'B'X

S(﹣

③如圖5,點(diǎn)TB'F上,∠B'TR90°

RE'E'B',∠E'=∠B'E'R60°

∴∠E'BE'=∠E'RE'120°

∴四邊形B'E'RE'是平行四邊形

E'RE'R

B'E'RE'是菱形

B'E'E'R

∴△B'E'R是等邊三角形

∵∠B'SR90°,即RSB'E'

∴點(diǎn)SB'E'中點(diǎn)

S(﹣2,2

綜上所述,使得以B′、R、T、S為頂點(diǎn)的四邊形為矩形的點(diǎn)S坐標(biāo)為(,3+)或(﹣,)或(﹣2,2).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)三角形,一個(gè)是等邊三角形,另一個(gè)是該對(duì)角線所對(duì)的角為60°的三角形,我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的理想對(duì)角線,這個(gè)四邊形稱為理想四邊形.

(1)如圖①,在RtABC中∠C=90°,∠B=30°,AC=4,DAB上一點(diǎn),AD=2,EBC中點(diǎn),連接DE.求證:四邊形ADEC為理想四邊形;

(2)如圖②,△ABC是等邊三角形,若BD為理想對(duì)角線,四邊形ABCD為理想四邊形.請(qǐng)畫圖找出符合條件的C點(diǎn)落在怎樣的圖形上;

(3)(2)的條件下,

①若△BCD為直角三角形,BC=3,求AC的長度;

②如圖③,若CD=x,BC=yAC=z,請(qǐng)直接寫出x,yz之間的數(shù)量關(guān)系.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知△ABC內(nèi)接于O,連接AO并延長交BC于點(diǎn)D,若∠B60°,∠C50°,則∠BAD的度數(shù)是( 。

A.70°B.40°C.50°D.60°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)與點(diǎn)

1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)坐標(biāo).

2)根據(jù)圖象回答,在什么范圍時(shí),一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.

3)求三角形的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,某中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了利用三角函數(shù)測(cè)高后,選定測(cè)量小河對(duì)岸一幢建筑物BC的高度,他們先在斜坡上的D處,測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°.且D離地面的高度DE=5m.坡底EA=30m,然后在A處測(cè)得建筑物頂端B的仰角是60°,點(diǎn)E,A,C在同一水平線上,求建筑物BC的高.(結(jié)果用含有根號(hào)的式子表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是一次函數(shù)圖象上兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為其中,過點(diǎn)分別作軸的平行線,交拋物線于點(diǎn),

1)若的值;

2)點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),求面積的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上,且,線段交反比例函數(shù)的圖象于另一點(diǎn),連結(jié).若點(diǎn)的中點(diǎn),,則的值為_________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】俄羅斯足球世界杯點(diǎn)燃了同學(xué)們對(duì)足球運(yùn)動(dòng)的熱情,某學(xué)校劃購買甲、乙兩種品牌的足球供學(xué)生使用.已知用1000 元購買甲種足球的數(shù)量和用1600元購買乙種足球的數(shù)量相同,甲種足球的單價(jià)比乙種足球的單價(jià)少30元.

1)求甲、乙兩種品牌的足球的單價(jià)各是多少元?

2)學(xué)枝準(zhǔn)備一次性購買甲、乙兩種品牌的足球共25個(gè),但總費(fèi)用不超過1610元,那么這所學(xué)校最多購買多少個(gè)乙種品牌的足球?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知第一象限的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y上,過點(diǎn)AABAOx軸于點(diǎn)B,∠AOB30°,將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)y上,則k的值為( 。

A.4B.C.2D.

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