Question

已知m，n為正整數(shù)，關(guān)于x的方程x²-mnx+（m+n）=0有正整數(shù)解，求m，n值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根

專(zhuān)題：

分析：首先設(shè)方程x²-mnx+（m+n）=0的兩根分別為：x₁，x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x₁+x₂=mn＞0，x₁•x₂=m+n＞0，又由（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，可得（x₁-1）（x₂-1），m-1，n-1均非負(fù)，而為兩個(gè)非負(fù)整數(shù)和的情況僅有0+2；1+1；2+0，繼而求得答案．

解答：解：設(shè)方程x²-mnx+（m+n）=0的兩根分別為：x₁，x₂，
∵m，n為正整數(shù)，
∴x₁+x₂=mn＞0，x₁•x₂=m+n＞0，
∴這兩個(gè)根x₁，x₂均為正數(shù)，
又∵（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1-[mn-（m+n）+1]=（m+n）-mn+1+[mn-（m+n）+1]=2，
其中（x₁-1）（x₂-1），m-1，n-1均非負(fù)，而為兩個(gè)非負(fù)整數(shù)和的情況僅有0+2；1+1；2+0．
∵（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=m+n-mn+1，（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1，
∴

m+n-mn+1=0 mn-(m+n)+1=2

或

m+n-mn+1=1 mn-(m+n)+1=1

或

m+n-mn+1=2 mn-(m+n)+1=0

，
解得：

m=2 n=3

或

m=3 n=2

或

m=2 n=2

或

m=1 n=5

或

m=5 n=1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．此題難度較大，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．