Question

【題目】如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣3，0），B（1，0），與y軸的交點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)E，F(xiàn)分別是拋物線對(duì)稱軸CH上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F上方），且EF=1，求使四邊形BDEF的周長最小時(shí)的點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)及最小值；
（3）如圖2，點(diǎn)P為對(duì)稱軸左側(cè)，x軸上方的拋物線上的點(diǎn)，PQ⊥AC于點(diǎn)Q，是否存在這樣的點(diǎn)P使△PCQ與△ACH相似？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+3過點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點(diǎn)C（﹣1，4）．

將D點(diǎn)向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)M，連結(jié)AM交對(duì)稱軸于F，作DE∥FM交對(duì)稱軸于E點(diǎn)，如圖1所示．

∵EF∥DM，DE∥FM，

∴四邊形EFMD是平行四邊形，

∴DE=FM，EF=DM=1，

DE+FB=FM+FA=AM．

由勾股定理，得AM= = = ，BD= = = ，

四邊形BDEF周長的最小值=BD+DE+EF+FB=BD+EF+（DE+FB）=BD+EF+AM= +1+ ；

設(shè)AM的解析式為y=mx+n，將A（﹣3，0），M（0，2）代入，解得m= ，n=2，則AM的解析式為y= x+2，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y= ，即F（﹣1， ），

由EF=1，得E（﹣1， ）．

故四邊形BDEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1， ），點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣1， ），四邊形BDEF周長的最小值是 +1+ ；

（3）解：點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，當(dāng)△PCQ∽△ACH時(shí)，∠PCQ=∠ACH．

過點(diǎn)A作CA的垂線交PC與點(diǎn)F，作FN⊥x軸與點(diǎn)N．則AF∥PQ，

∴△CPQ∽△CFA，

∴ = =2．

∵∠CAF=90°，

∴∠NAF+∠CAH=90°，∠NFA+∠NAF=90°，

∴∠BFA=∠CAH．

又∵∠FNA=∠AHC=90°，

∴△FNA∽△AHC，

∴ = = = ，即 = = ．

∴AN=2，F(xiàn)N=1．

∴F（﹣5，1）．

設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)C和點(diǎn)F的坐標(biāo)代入得： ，解得：k= ，b= ．

∴直線CF的解析式為y= x+ ．

將y= x+ 與y=﹣x2﹣2x+3聯(lián)立得： 解得： 或 （舍去）．

∴P（﹣ ， ）．

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ， ）．

【解析】（1）直接利用待定系數(shù)法來求解；
（2）把（1）中得到的解析式寫成頂點(diǎn)式可得C的坐標(biāo)，將D點(diǎn)向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)M，連結(jié)AM交對(duì)稱軸于F，作DE∥FM交對(duì)稱軸于E點(diǎn)，進(jìn)而可得四邊形EFMD是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理可求得AM、BD，進(jìn)而可求出四邊形BDEF周長的最小值，再利用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式，從而得到F的坐標(biāo)，然后由EF=1得出E的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)A作CA的垂線交PC與點(diǎn)F，作FN⊥x軸與點(diǎn)N．則AF∥PQ.當(dāng)△PCQ∽△ACH時(shí)，∠PCQ=∠ACH．再證明△CPQ∽△CFA和△FNA∽△AHC，由相似三角形的性質(zhì)可求出AN、FN的長，進(jìn)而得到F點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線CF的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立，求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識(shí)，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法，以及對(duì)軸對(duì)稱的性質(zhì)的理解，了解關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上．