Question

20．如圖，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，點E在AB上，點F在CD上，點G、H在對角線AC上，若四邊形EGFH是正方形，則△AGE的面積為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，判定△CFO≌△AOE，并求得AO的長，再判定△AOE∽△ABC，求得OE和AG的長，最后計算△AGE的面積．

解答 解：連接EF交AC于O，
∵四邊形EGFH是正方形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO與△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠OAB}\\{∠FOC=∠AOE}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO=CO，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∵∠CAB=∠EAO，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}$，即$\frac{OE}{4}=\frac{2\sqrt{5}}{8}$
∴OE=$\sqrt{5}$=OG
∴AG=AO-GO=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$
∵EF⊥AC
∴△AGE的面積=$\frac{1}{2}$×AG×OE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$
故答案為：$\frac{5}{2}$

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)．本題若不運用相似三角形，則可以過點F作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，并運用勾股定理進行計算求解．