Question

15．如圖，已知雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）經(jīng)過Rt△OAB的直角邊AB的中點(diǎn)C，與斜邊OB相交于點(diǎn)D，若OD=1，則BD=$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 先設(shè)D的坐標(biāo)為（a，b），BD=x，過D作DE⊥AO，再判定△OED∽△OAB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得B（a+ax，b+bx），再根據(jù)點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)求得C（a+ax，$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{2}$bx），最后點(diǎn)C、D都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，得到關(guān)于x的方程，求得x的值即可．

解答 解：設(shè)D的坐標(biāo)為（a，b），BD=x
過D作DE⊥AO于E，則OE=a，DE=b
由DE∥BA可得，△OED∽△OAB
∴$\frac{OD}{OB}=\frac{DE}{BA}=\frac{OE}{OA}$，即$\frac{1}{1+x}=\frac{BA}=\frac{a}{OA}$
∴AO=a+ax，AB=b+bx
∴B（a+ax，b+bx）
又∵點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)
∴C（a+ax，$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{2}$bx）
∵點(diǎn)C、D都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上
∴k=a×b=（a+ax）×（$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{2}$bx）
整理得，（1+x）²=2
解得x=$\sqrt{2}$-1
∴BD的長為：$\sqrt{2}$-1
故答案為：$\sqrt{2}$-1

點(diǎn)評 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，并根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想方法求解．