Question

12．在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中，AC⊥OB，OA⊥AB，OB=3，點(diǎn)C是OB上靠近O點(diǎn)的三等分點(diǎn)，若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象（圖中未畫出）與△OAB有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是0＜k＜$\frac{9}{8}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)射影定理求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求得直線AB 的解析式，并與反比例函數(shù)解析式組成方程組，變形得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式大于0求得k的取值范圍，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：∵AC⊥OB，OA⊥AB
∴AC²=CO×CB
∵OB=3，點(diǎn)C是OB上靠近O點(diǎn)的三等分點(diǎn)
∴OC=1，BC=2，B（3，0）
∴AC=$\sqrt{1×2}$=$\sqrt{2}$
∴A（1，$\sqrt{2}$）
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}=k+b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$
∴直線AB為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
將方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$消去y可得，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{k}{x}$
整理得，x²-3x+$\sqrt{2}$k=0
根據(jù)題意得，△=9-4$\sqrt{2}$k＞0
解得k＜$\frac{9}{8}\sqrt{2}$
又∵k＞0
∴k的取值范圍是：0＜k＜$\frac{9}{8}\sqrt{2}$
故答案為：0＜k＜$\frac{9}{8}\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，若方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．