Question

【題目】已知正方形ABCD的對角線相交于O，點P在射線AO上，∠MPN=90°．

（1）如圖1，當P與點O重合，M、N分別在AD、AB上，AM=2DM，則=__________；

（2）如圖2，點P在CO上，AP=2CP，M為AD的中點，求的值．

（3）如圖3，P在AC的延長線上，M為AD的中點，AP=nCP，則=____________(用含n的式子表示)

Answer 1

【答案】（1）；（2）=5；（3）

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)定理和三角形全等的判定定理，可得MODNOA，MOANOB，結(jié)合AM=2DM，即可得到結(jié)論；

（2）過點P作PF∥AD，PE∥AB，易得AE=2ED，設(shè)ED=a，則AE=2a，A =3a，MD=，ME =a，再證MEPNFP，可得AN=，BN=a，進而即可得到結(jié)論；

（3）過點P作PK⊥AD交AD的延長線于點K，過點P作PH⊥AN于點H，易得，設(shè)DK=a，則AK=na，AD=(n-1)a，MK=，由（2）題的方法得：MKPNHP，從而得AN=，BN=，進而即可得到結(jié)論．

（1）∵正方形ABCD的對角線相交于O，

∴OA=OD，∠ODM=∠OAN=45°，∠AOD=90°，

∵∠MPN=90°，

∴∠MOD+∠AOM=∠NOA+∠AOM=90°，

∴∠MOD=∠NOA，

∴MODNOA（ASA），

∴DM=NA，

同理：MOANOB（ASA），

∴AM=BN，

∵AM=2DM，

∴BN=2 NA

∴=，

故答案是：；

（2）過點P作PF∥AD，PE∥AB，

∴，

∵AP=2CP，

∴AE=2ED，

設(shè)ED=a，則AE=2a，AD=2a+a=3a，

∵M為AD的中點，

∴MD=AD=×3a=，ME=- a=a，

∵FG∥AD，PE∥AB，

∴PF⊥AB，PE⊥AD，

∵AC是∠BAD的平分線，

∴PF=PE，

∵∠BAD=90°，

∴四邊形AEPF是正方形，即：∠EPF=90°，

∵∠MPN=90°，

∴∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，

∴∠EPM=∠FPN，

又∵∠MEP=∠NFP=90°，

∴MEPNFP（ASA），

∴ME=NF=a，

又∵AF=AE=2a，

∴AN=2a+a=，

∵AB=AD=3a，

∴BN=3a-=a，

∴=5；

（3）過點P作PK⊥AD交AD的延長線于點K，過點P作PH⊥AN于點H，

∵PK∥CD，AP=nCP，

∴，

設(shè)DK=a，則AK=na，AD=(n-1)a，

∵M為AD的中點，

∴MD=，

∴MK=MD+DK=，

由（2）題的方法得：MKPNHP（AAS），四邊形AKPH是正方形，

∴HN=MK=，AH=AK=na，

∴AN=+na=，BN=-(n-1)a=，

∴=．

故答案是：．