Question

【題目】如圖，已知直線交軸于點，點為軸上的一個動點（點不與點重合），在直線上取一點（點在軸上方），使，連結，以為邊在的右側作正方形，連結，以為直徑作．

（1）當點在點左側時，若點落在軸上，則的長為______，點的坐標為_______；

（2）若與正方形的邊相切于點，求點的坐標；

（3）與直線的交點為，連結，當平分時，的長為______．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）2，；（2）點的坐標為或或；（3）．

【解析】

（1）先求出直線交軸于點，交軸于點，進而求出，得到，過點D作DM⊥x軸，得OBADAM，進而即可求解；

（2）分3種情況：①如圖1，當與相切于點時，，點與點重合，②如圖2，當與直線相切于點，點在點右側時，則，③如圖3，，當與直線相切于點，點在點左側時，則，分別求解，即可；

（3）如圖4，作于點，連結．設，可得，，，再求出，由條件可知：，，三點共線，列出關于m的比例式，求出m的值，進而即可求解．

（1）直線交軸于點，交軸于點，

，

，，．

，

，

∵點在點左側，

，

如圖1，過點D作DM⊥x軸，

∵∠OBA+∠OAB=∠OAB+∠DAM=90°，

∴∠OBA=∠DAM，

又∵AB=DA，∠AOB=∠DMA=90°，

∴OBADAM（AAS），

∴DM=OA=4，OB=AM=8，

∴OM=8+4=12，

；

（2）①如圖2，當與相切于點時，，

又∵∠ABC=90°，點為軸上的一個動點，

∴點與點重合，

∴，

設與x軸的交點為點N，連接BN，則∠BNO=90°，設直線l與y軸交于點K，則OK=8，

∵BN∥OK，

∴，即：，

∴BN=24，NE=18，

∴ON=18-6=12，

∴；．

②如圖3，當與直線相切于點，點在點右側時，則，

設與x軸交于點H，連接BH，則∠OHB=90°，

設，則，

∵sin∠BEH=，

，，

，

．

，

，即點在直線上，

聯立，解得：

∴點；

③如圖4，當與直線相切于點，點在點左側時，則，

設與x軸交于點F，連接BF，則∠OFB=90°，

設，則，

∵sin∠BEF=，

∴，，

∴．

，

∴∠ABF+∠OBF=∠BOF+∠OBF=90°，

∴∠ABF=∠BOF，

∵∠AFB=∠BFO=90°，

∴，

∴，

，解得：（舍去），

∴點．

綜上所述，點的坐標為或或；

（3）如圖5，作于點，連結．

設，則，

由第（2）題，可知，，，

，，

過點C作CT⊥GB，交GB的延長線于點T，

∵∠CBT+∠ABG=∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠CBT=∠BAG，

又∵∠CTB=∠BGA=90°，CB=BA，

∴CTBBGA（AAS），

∴CT=BG=4m，BT=AG=2m，

∴TG=6m，點C的橫坐標=CT-OG=4m-(3m-6)=m+6，

∴，

∵OB是的直徑，

∴直線，且過原點，

直線的解析式為：，

聯立，解得：，

．

平分，

，，三點共線，

，解得：，

，

．

故答案是：．

圖1 圖2

圖3 圖4

圖5