Question

【題目】如圖，是上的兩個(gè)定點(diǎn)，為優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，點(diǎn)在上，且．

（1）求證：與相切；

（2）已知：

①若，求的長(zhǎng)；

②當(dāng)兩點(diǎn)間的距離最短時(shí)，判斷四點(diǎn)所組成的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①；②四邊形是平行四邊形，理由詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）如圖1，作直徑BG，連接GE，證∠EBD=∠G，則∠EBD+∠GBE=90°，即可推出結(jié)論；
（2）①如圖2，連接AG，證△BCD∽△BAG，推出，在Rt△BGE中，求出BG的長(zhǎng)，可進(jìn)一步求出BD的長(zhǎng)；
②由①推出，因?yàn)?/span>B，E為定點(diǎn)，BE為定值，所以BD為定值，D為定點(diǎn)，因?yàn)椤?/span>BCD=90°，所以點(diǎn)C在以BD為直徑的⊙M上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C在線段OM上時(shí)，OC最小，證，∠OMB=60°，依次推出AB∥CD，AC∥BD即可．

（1）如圖1，作直徑BG，連接GE，

則∠GEB=90°，
∴∠G+∠GBE=90°，
∵∠A=∠EBD，∠A=∠G，
∴∠EBD=∠G，
∴∠EBD+∠GBE=90°，
∴∠GBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD與⊙O相切；

（2）①如圖2，連接AG，

∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
由（1）知∠GBD=90°，
∴∠GBD=∠ABC，
∴∠GBA=∠CBD，
又∵∠GAB=∠DCB=90°，
∴△BCD∽△BAG，

∴

又中，，

∴

∴

②四邊形是平行四邊形．理由如下：

由①知，

∴

∵為定點(diǎn)，為定值

∴為定值，為定點(diǎn)

∴點(diǎn)在為直徑的上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小

此時(shí)在中，

∴

∴

∴

，

∴

∴

∴

∴

∴

∴四邊形為平行四邊形．