Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9），與y軸交于點(diǎn)A（0，5），與x軸交于點(diǎn)E、B.

（1）求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的解析式.

（2）過點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D,問當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，四邊形APCD的面積最大？求P坐標(biāo)及最大面積是多少？

（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在其對(duì)稱軸上，使得以A、E、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5,（2）,P（,）;（3）M1(3，8),M2(1，8).

【解析】

（1）設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求出直線AB解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)（x，x2＋4x＋5），建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形APCD＝2x2＋10x，根據(jù)二次函數(shù)求出極值；

（3）先判斷出△HMN≌△AOE，求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x2）2＋9，

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，5），

∴4a＋9＝5，

∴a＝1，

y＝（x2）2＋9＝x2＋4x＋5，

（2）當(dāng)y＝0時(shí)，x2＋4x＋5＝0，

∴x1＝1，x2＝5，

∴E（1，0），B（5，0），

設(shè)直線AB的解析式為y＝mx＋n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m＝1，n＝5，

∴直線AB的解析式為y＝x＋5；

設(shè)P（x，x2＋4x＋5），

∴D（x，x＋5），

∴PD＝x2＋4x＋5＋x5＝x2＋5x，

∵AC＝4，

∴S四邊形APCD＝×AC×PD＝2（x2＋5x）＝2x2＋10x，

∴當(dāng)x＝時(shí)，S=，

∴即：點(diǎn)P（，）時(shí)，S四邊形APCD最大＝，

（3）如圖，

過M作MH垂直于對(duì)稱軸，垂足為H，

∵MN∥AE，MN＝AE，

∴△HMN≌△AOE

∴HM＝OE＝1，

∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝3或x＝1，

當(dāng)x＝1時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，

當(dāng)x＝3時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8），