Question

“在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為

5

、

10

、

13

，求這個(gè)三角形的面積．”小明同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．
（1）直接寫(xiě)出圖①中△ABC的面積；
（2）若△DEF三邊的長(zhǎng)分別為

5

a、

8

a、

17

a（a＞0），請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）畫(huà)出相應(yīng)的△DEF，并直接寫(xiě)出它的面積．
（3）若△MNP三邊的長(zhǎng)分別為

m2+16n2

、

9m2+4n2

、

4m2+4n2

（m＞0，n＞0，且m≠n），試運(yùn)用構(gòu)圖法求出△MNP的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,三角形的面積

專(zhuān)題：作圖題

分析：（1）△ABC的面積=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=

7

2

；
（2）

5

a是直角邊長(zhǎng)為a，2a的直角三角形的斜邊；

8

a是直角邊長(zhǎng)為2a，2a的直角三角形的斜邊；

17

a是直角邊長(zhǎng)為a，4a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積；
（3）結(jié)合（1），（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長(zhǎng)為m，4n的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為3m，2n的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為2m，2n的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積．

解答：解：（1）由圖可知S_△ABC=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=

7

2

；

（2）如圖1：
S_△DEF=2a×4a-

1

2

a×2a-

1

2

×2a×2a-

1

2

a×4a=3a²；

（3）解：構(gòu)造△MNP如圖2所示，
S_△MNP=3m×4n-

1

2

m×4n-

1

2

×3m×2n-

1

2

×2m×2n
=5mn．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理，此題屬開(kāi)放性的探索問(wèn)題，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．