【題目】問題背景:已知在△ABC中,邊AB上的動點D由A向B運動(與A,B不重合),同時點E由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合),連接DE交AC于點F,點H是線段AF上一點,求 的值.
(1)初步嘗試
如圖(1),若△ABC是等邊三角形,DH⊥AC,且點D、E的運動速度相等,小王同學發(fā)現(xiàn)可以過點D作DG∥BC交AC于點G,先證GH=AH,再證GF=CF,
從而求得 的值為

(2)類比探究
如圖(2),若△ABC中,∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°,且點D,E的運動速度之比是 :1,求 的值.

(3)延伸拓展
如圖(3)若在△ABC中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36°,記 =m,且點D、E的運動速度相等,試用含m的代數(shù)式表示 的值(直接寫出果,不必寫解答過程).

【答案】
(1)2
(2)

解:如圖(2)過點D作DG∥BC交AC于點G,

則∠ADG=∠ABC=90°.

∵∠BAC=∠ADH=30°,

∴AH=DH,∠GHD=∠BAC+∠ADH=60°,

∠HDG=∠ADG﹣∠ADH=60°,

∴△DGH為等邊三角形.

∴GD=GH=DH=AH,AD=GDtan60°= GD.

由題意可知,AD= CE.

∴GD=CE.

∵DG∥BC,

∴∠GDF=∠CEF.

在△GDF與△CEF中,

∴△GDF≌△CEF(AAS),

∴GF=CF.

GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,

∴HF= AC=2,即


(3)

解: = .理由如下:

如圖(3),過點D作DG∥BC交AC于點G,

易得AD=AG,AD=EC,∠AGD=∠ACB.

在△ABC中,∵∠BAC=∠ADH=36°,AB=AC,

∴AH=DH,∠ACB=∠B=72°,∠GHD=∠HAD+∠ADH=72°.

∴∠AGD=∠GHD=72°.

∵∠GHD=∠B=∠HGD=∠ACB,

∴△ABC∽△DGH.

,

∴GH=mD H=mA H.

由△ADG∽△ABC可得

∵DG∥BC,

∴FG=mFC.

∴GH+FG=m(AH+FC)=m(AC﹣HF),

即HF=m(AC﹣HF).

=


【解析】解:(1)過點D作DG∥BC交AC于點G,如圖(1)所示:
∵△ABC是等邊三角形,
∴△AGD是等邊三角形,
∴AD=GD,
由題意知:CE=AD,
∴CE=GD
∵DG∥BC,
∴∠GDF=∠CEF,
在△GDF與△CEF中, ,
∴△GDF≌△CEF(AAS),
∴CF=GF,
∵DH⊥AG,
∴AH=GH,
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2(GH+GF),
HF=GH+GF,
=2;
故答案為:2;
(1)過點D作DG∥BC交AC于點G,由題意知△AGD是等邊三角形,所以AD=GD,所以可以證明△GDF≌△CEF,所以CF=GF,由三線合一可知:AH=GH,即可得出所求答案;(2)過點D作DG∥BC交AC于點G,由點D,E的運動速度之比是 :1可知GD=CE,所以可以證明△GDF≌△CEF,所以CF=GF,由∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°可知:AH=DH,即可得出答案;(3)類似(1)(2)的方法可求出 =m和 =m,然后利用GH+FG=m(AH+FC)=m(AC﹣HF)即可求出 的值.

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(1)【特例探索】
如圖1,當∠ABE=45°,c=2 時,a= , b=;如圖2,當∠ABE=30°,c=4時,a= , b=;
(2)【歸納證明】
請你觀察(1)中的計算結果,猜想a2 , b2 , c2三者之間的關系,用等式表示出來,請利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關系式;
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