【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”,例如圖1,圖2,圖3中,AF,BE是△ABC的中線,AF⊥BE,垂足為P,像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
(1)【特例探索】
如圖1,當(dāng)∠ABE=45°,c=2 時(shí),a= , b=;如圖2,當(dāng)∠ABE=30°,c=4時(shí),a= , b=;
(2)【歸納證明】
請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a2 , b2 , c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,請利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式;
(3)【拓展應(yīng)用】
如圖4,在ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別是AD,BC,CD的中點(diǎn),BE⊥EG,AD=2 ,AB=3.求AF的長.
【答案】
(1)2 ;2 ;2 ;2
(2)
猜想:a 2,b2,c2三者之間的關(guān)系是:a2+b2=5c2,
證明:如圖3,連接EF,
∵AF,BE是△ABC的中線,
∴EF是△ABC的中位線,
∴EF∥AB.且 EF= AB= c.
∴
設(shè) PF=m,PE=n 則AP=2m,PB=2n,
在Rt△APB中,(2m)2+(2n)2=c2①
在Rt△APE中,(2m)2+n2=( )2②
在Rt△BPF中,m2+(2n)2=( )2③
由①得:m2+n2= ,由②+③得:5( m2+n2)= ,
∴a 2+b2=5 c2;
(3)
如圖4,連接AC,EF交于H,AC與BE交于點(diǎn)Q,設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P,
∵點(diǎn)E、G分別是AD,CD的中點(diǎn),
∴EG∥AC,
∵BE⊥EG,
∴BE⊥AC,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AD=BC=2 ,
∴∠EAH=∠FCH,
∵E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點(diǎn),
∴AE= AD,BF= BC,
∴AE=BF=CF= AD= ,
∵AE∥BF,
∴四邊形ABFE是平行四邊形,
∴EF=AB=3,AP=PF,
在△AEH和△CFH中, ,
∴△AEH≌△CFH,
∴EH=FH,
∴EP,AH分別是△AFE的中線,
由(2)的結(jié)論得:AF2+EF2=5AE2,
∴AF2=5( )2﹣EF2=16,
∴AF=4.
【解析】解:(1.)∵AF⊥BE,∠ABE=45°,
∴AP=BP= AB=2,
∵AF,BE是△ABC的中線,
∴EF∥AB,EF= AB= ,
∴∠PFE=∠PEF=45°,
∴PE=PF=1,
在Rt△FPB和Rt△PEA中,
AE=BF= = ,
∴AC=BC=2 ,
∴a=b=2 ,
如圖2,連接EF,
同理可得:EF= ×4=2,
∵EF∥AB,
∴△PEF~△ABP,
∴ ,
在Rt△ABP中,
AB=4,∠ABP=30°,
∴AP=2,PB=2 ,
∴PF=1,PE= ,
在Rt△APE和Rt△BPF中,
AE= ,BF= ,
∴a=2 ,b=2 ,
所以答案是:2 ,2 ,2 ,2 ;
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的“三線”的相關(guān)知識(shí),掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,是三角形內(nèi)切圓的圓心,稱為內(nèi)心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,是三角形的幾何中心,稱為中心);3、三角形的高線是頂點(diǎn)到對邊的距離;注意:三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi),以及對相似三角形的應(yīng)用的理解,了解測高:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),AC的垂直平分線交AC,AD,AB于點(diǎn)E,O,F(xiàn),則圖中全等三角形的對數(shù)是( )
A. 3對 B. 4對 C. 5對 D. 6對
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題背景:已知在△ABC中,邊AB上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A,B不重合),同時(shí)點(diǎn)E由點(diǎn)C沿BC的延長線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合),連接DE交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn),求 的值.
(1)初步嘗試
如圖(1),若△ABC是等邊三角形,DH⊥AC,且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)速度相等,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G,先證GH=AH,再證GF=CF,
從而求得 的值為 .
(2)類比探究
如圖(2),若△ABC中,∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度之比是 :1,求 的值.
(3)延伸拓展
如圖(3)若在△ABC中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36°,記 =m,且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)速度相等,試用含m的代數(shù)式表示 的值(直接寫出果,不必寫解答過程).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如圖所示的方式放置,其中點(diǎn)B1在y軸上,點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x軸上,已知正方形A1B1C1D1的邊長為l,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…,則正方形A2017B2017C2017 D2017的邊長是( )
A.( )2016
B.( )2017
C.( )2016
D.( )2017
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)廣場上有旗桿如圖1所示,在學(xué)習(xí)解直角三角形以后,數(shù)學(xué)興趣小組測量了旗桿的高度.如圖2,某一時(shí)刻,旗桿AB的影子一部分落在平臺(tái)上,另一部分落在斜坡上,測得落在平臺(tái)上的影長BC為4米,落在斜坡上的影長CD為3米,AB⊥BC,同一時(shí)刻,光線與水平面的夾角為72°,1米的豎立標(biāo)桿PQ在斜坡上的影長QR為2米,求旗桿的高度(結(jié)果精確到0.1米).(參考數(shù)據(jù):sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,直線與軸交于點(diǎn),直線與軸及直線分別交于點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于軸對稱,連接.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式;
(2)設(shè)面積的和,求的值;
(3)在求(2)中時(shí),嘉琪有個(gè)想法:“將沿軸翻折到的位置,與四邊形拼接后可看成,這樣求便轉(zhuǎn)化為直接求的面積不更快捷嗎?”但大家經(jīng)反復(fù)驗(yàn)算,發(fā)現(xiàn),請通過計(jì)算解釋他的想法錯(cuò)在哪里.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】班長調(diào)查了三班近 10 天的數(shù)學(xué)課堂小測驗(yàn),在這 10 天,小測驗(yàn)的不及格人數(shù)為(單位:個(gè))0,2,0, 3,1,1,0,2,5,1.在這 10 天中小測驗(yàn)不及格的人數(shù)( )
A. 中位數(shù)為 1.5 B. 方差為 1.5 C. 極差為 1.5 D. 標(biāo)準(zhǔn)差為 1.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1是用繩索織成的一片網(wǎng)的一部分,小明探索這片網(wǎng)的結(jié)點(diǎn)數(shù)(V),網(wǎng)眼數(shù)(F),邊數(shù)(E)之間的關(guān)系,他采用由特殊到一般的方法進(jìn)行探索,列表如下:
特殊網(wǎng)圖 | ||||
結(jié)點(diǎn)數(shù)(V) | 4 | 6 | 9 | 12 |
網(wǎng)眼數(shù)(F) | 1 | 2 | 4 | 6 |
邊數(shù)(E) | 4 | 7 | 12 | ☆ |
表中“☆”處應(yīng)填的數(shù)字為_____;根據(jù)上述探索過程,可以猜想V,F,E之間滿足的等量關(guān)系為_____;
如圖2,若網(wǎng)眼形狀為六邊形,則V,F,E之間滿足的等量關(guān)系為___ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰中,=90°,于,的平分線分別交、于、兩點(diǎn),為的中點(diǎn),延長交于點(diǎn),連接.下列結(jié)論:① ;② ;③ ;④;上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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