【題目】數(shù)學課堂上老師對一道課外作業(yè)進行了延拓,請同學們解答下列問題:

1)如圖1:∠ABC90°,△ABE是等邊三角形,AB6,點P為射線BC上任意一點(點P與點B不重合),連接AP,將線段AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段AQ,連接QE,則BPQE的數(shù)量關系是:BP  QE

2)如圖2:在(1)的條件下,延長QE交射線BC于點F,若設BPx,點Q到射線BC的距離為y,試寫出y關于x的函數(shù)關系式.

3)如圖3:在(1)的條件中,如果改點P為直線BC上的任意一個動點,其他條件均不變,請?zhí)骄?/span>AP在旋轉過程中,△ABQ周長是否存在最小值,如果有,請求出這個值;如果不存在,請說明理由.

【答案】1)=;(2yx+3x0);(3)存在,△ABQ周長最小值為18+6

【解析】

1)由“SAS”可證ABP≌△AEQ,可得BP=QE;
2)在圖2中,過點FFGBE于點G.過點QQHBC,垂足為H,由(1)可知ABP≌△AEQ,可得∠AEQ=ABP=90°,由直角三角形的性質可求EF=6,可得QF=QE+EF=x+6,由直角三角形的性質可求解;
3)先確定點Q的位置,點Q在過點E且垂直于AE的直線上運動,由三邊關系可得當點QBN上時,ABQ周長有最小值,即可求解.

1)∵將線段AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段AQ,

APAQ,∠PAQ60°,

∵△ABE是等邊三角形,

ABAE,∠BAE=∠PAQ60°,

∴∠BAP=∠EAQ,且APAQ,ABAE

∴△ABP≌△AEQSAS

BPQE,

故答案為:=;

2)在圖2中,過點FFGBE于點G.過點QQHBC,垂足為H

∵△ABE是等邊三角形,

BEAB6

由(1)可知ABP≌△AEQ

∴∠AEQ=∠ABP90°,且∠AEB60°

∴∠BEF30°,

∴∠EBF=∠BEF30°

BFEF,

FGBE

BG3,

∵∠EBF30°,

BF2GF,BGGF,

GF3,BF6,

EF6,

QEBPx

QFQE+EFx+6,

RtQHF中,∠QFH60°,

∴∠FQH30°

FHQF,

yQHFHx+6).(x0

y關于x的函數(shù)關系式是:yx+3x0

3)由(1)可知:ABP≌△AEQ,

∴∠AEQ=∠ABP90°,

∴點Q在過點E且垂直于AE的直線上運動,

如圖3,延長AEBC于點N,連接AF,QN,

∵∠ABC90°,∠BAN60°,

∴∠ANB30°

AN2AB12,且AEAB6,

ENANAE6,

AEEN,且EFAN

AQQN,

∵△ABQ周長=AB+AQ+BQ6+BQ+QN≥6+BN,

∴當點QBN上時,△ABQ周長有最小值,

BNAB18

∴△ABQ周長最小值=18+6

練習冊系列答案
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【題目】隨著生活水平的提高,人們越來越注重營養(yǎng)健康,有一種有機水果在市場上特別受歡迎,某大型超市以10/千克的價格在產(chǎn)地收購了6000千克水果,立即將其冷藏,請根據(jù)下列信息解決問題:

①水果的市場價每天每千克上漲0.1元;

②平均每天有10千克的該水果損壞,不能出售;

③每天的冷藏費用為300元;

④該水果最多保存110天;

1)若將這批水果存放天后一次性出售,則天后這批水果的銷售單價為 元;

2)將這批水果存放多少天后一次性出售所得利潤為9600元?

3)將這批水果存放多少天后一次性出售可獲得最大利潤?最大利潤是多少?

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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AO△ABC的角平分線.以O為圓心,OC為半徑作⊙O.

(1)求證:AB⊙O的切線.

2)已知AOO于點E,延長AOO于點D,tanD=,求的值.

(3)在(2)的條件下,設⊙O的半徑為3,求AB的長.

【答案】(1)證明見解析(2) (3)

【解析】試題分析:(1)過OOF⊥ABF,由角平分線上的點到角兩邊的距離相等即可得證;(2)連接CE,證明△ACE∽△ADC可得= tanD;(3)先由勾股定理求得AE的長,再證明△B0F∽△BAC,得,設BO="y" BF=z,列二元一次方程組即可解決問題.

試題解析:(1)證明:作OF⊥ABF

∵AO∠BAC的角平分線,∠ACB=90

∴OC=OF

∴AB⊙O的切線

2)連接CE

∵AO∠BAC的角平分線,

∴∠CAE=∠CAD

∵∠ACE所對的弧與∠CDE所對的弧是同弧

∴∠ACE=∠CDE

∴△ACE∽△ADC

= tanD

3)先在△ACO中,設AE=x,

由勾股定理得

(x3)="(2x)" 3 ,解得x="2,"

∵∠BFO=90°=∠ACO

易證Rt△B0F∽Rt△BAC

,

BO=y BF=z

4z=93y,4y=123z

解得z=y=

∴AB=4=

考點:圓的綜合題.

型】解答
束】
22

【題目】已知:二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,其中點B在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,線段OB、OC的長(OB<OC)是方程x2-10x+16=0的兩個根,且A點坐標為(-6,0).

(1)求此二次函數(shù)的表達式;

(2)若點E是線段AB上的一個動點(與點A、點B不重合),過點E作EF∥AC交BC于點F,連接CE,設AE的長為m,△CEF的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量m的取值范圍;

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【題目】班委會決定,選購圓珠筆、鋼筆共22支,送給山區(qū)學校的同學。已知圓珠筆每支5元,鋼筆每支6元。

(1)若購買圓珠筆、鋼筆剛好用去120元,問圓珠筆、鋼筆各買多少支?

(2)若購圓珠筆可9折優(yōu)惠,鋼筆可8折優(yōu)惠,在所需費用不超過100元的前提下,請你寫出一種選購方案。

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l當點C與點O重合時,DE=

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