Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B（2，0），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣ ）．直線y=mx+ 過點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)N，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是D，點(diǎn)P是直線BD下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M．

（1）求拋物線y= x2+bx+c的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若四邊形PEMN是平行四邊形？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作PF⊥BD于點(diǎn)F，設(shè)△PEF的周長(zhǎng)為C，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，求C與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出C的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得 ，

解得 ，

拋物線的解析式為y= x2+ x﹣ ．

∵直線y=mx+ 過點(diǎn)B（2，0），

∴2m+ =0，

解得m=﹣ ，

直線的解析式為y=﹣ x+ ．

聯(lián)立直線與拋物線，得

∴ x2+ x﹣ =﹣ x+ ，

解得x1=﹣8，x2=2（舍），

∴D（﹣8，7 ）

（2）

解：∵DM⊥y軸，

∴M（0，7 ），N（0， ）

∴MN=7 ﹣ =6．

設(shè)P的坐標(biāo)為（x， x2+ x﹣ ），E的坐標(biāo)則是（x，﹣ x+ ）

PE=﹣ x+ ﹣（ x2+ x﹣ ）=﹣ x2﹣ x+4，

∵PE∥y軸，要使四邊形PEMN是平行四邊形，必有PE=MN，

即﹣ x2﹣ x+4=6，解得x1=﹣2，x2=﹣4，

當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣3，即P（﹣2，﹣3），

當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=﹣ ，即P（﹣4，﹣ ），

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）和）（﹣4，﹣ ）

（3）

解：在Rt△DMN中，DM=8，MN=6，

由勾股定理，得

DN= =10，

∴△DMN的周長(zhǎng)是24．

∵PE∥y軸，

∴∠PEN=∠DNM，

又∵∠PFE=∠DMN=90°，

∴△PEF∽△DMN，

∴ = ，

由（2）知PE=﹣ a2﹣ a+4，

∴ = ，

∴C=﹣ a2﹣ a+ ，

C=﹣ （a+3）2+15，

C與a的函數(shù)關(guān)系式為C=﹣ a2﹣ a+ ，

當(dāng)x=﹣3時(shí)，C的最大值是15

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式，直線的解析式，根據(jù)解方程組，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)y軸上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得MN，PE的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的判定，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得P的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)勾股定理，可得DN的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得 = ，根據(jù)比例的基本性質(zhì)，可得答案．
【考點(diǎn)精析】掌握平行四邊形的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．