Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），點P是x軸上一動點，將線段AP繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AQ，當點P從點（3，0）運動到點（1，0）時，點Q運動的路徑長為____.

Answer 1

【答案】4

【解析】

設點P運動到原點時點Q的對應點是B，連接BQ，根據旋轉的性質及同角的余角相等可得∠PAO=∠BAQ，利用SAS可證明△APO≌△AQB，可得∠ABQ=∠AOP=90°，可知點P運動過程中，∠ABQ是定值，即可確定點Q的運動軌跡是經過點B且與AB垂直的線段，設點P運動到點（1，0）時的對應點為P1，點Q的對應點為Q1，連接QQ1，利用SAS可證明△APP1≌△AQQ1，可得PP1=QQ1，根據P、P1的坐標求出PP1的長即可得答案.

如圖，設點P運動到原點時點Q的對應點是B，

∵線AP繞點A逆時針旋轉90°，得到AQ，AO繞點A逆時針旋轉90°，得到AB，

∴∠PAQ=∠OAB=90°，AP=AQ，AO=AB，

∴∠PAO+∠OAQ=∠QAB+∠OAQ=90°，

∴∠PAO=∠QAB，

在△PAO和△QAB中，，

∴△PAO≌△QAB，

∴∠ABQ=∠AOP=90°，

∴點P運動過程中，∠ABQ=90°，是定值，

∴點Q的運動軌跡是經過點B且垂直于AB的線段，

如圖，設點P運動到點（1，0）時的對應點為P1，點Q的對應點為Q1，連接QQ1，1

∴QQ1即是點Q運動的距離，

由旋轉的性質得AP=AQ，AP1=AQ1，∠PAQ=∠P1AQ1=90°，

∴∠PAP1+∠P1AQ=∠P1AQ+∠QAQ1=90°，

∴∠PAP1=∠QAQ1，

在△APP1和△QAQ1中，，

∴△APP1≌△QAQ1，

∴PP1=QQ1，

∵點P從點（-3，0）運動到（1，0），

∴QQ1=PP1=1-（-3）=4

故答案為：4