【題目】如圖,已知菱形ABCD的邊長為2,∠DAB=60°,E、F分別是AD、CD上的兩個動點(diǎn),且滿足AE+CF=2.連接BD.
(1)圖中有幾對三角形全等?試選取一對全等的三角形給予證明;
(2)判斷△BEF的形狀,并說明理由.
(3)當(dāng)△BEF的面積取得最小值時,試判斷此時EF與BD的位置關(guān)系.
【答案】(1)△BAE≌△BDF,△BDE≌△BCF,△BAD≌△BCD,共三對;證明見解析;(2)△BEF為正三角形.理由見解析;(3)此時BD垂直平分EF.
【解析】
(1)可根據(jù)題意判斷出△BAD≌△BCD(SSS)
△BAE≌△BD(SAS)△BDE≌△BCF(SAS),任選一組證明即可.
(2)首先由(1)知△BDE≌△BCF,得到BE=BF,再根據(jù)∠DBE=∠CB,∠DBC=∠DBF+∠CBF=60,得到一個角為60°即可證明為等邊三角形.
(3)設(shè)BE=BF=EF=x,由S△BEF=,即面積根x值有關(guān),當(dāng)x最小,即BE垂直于AD時面積最小.
(1)△BAE≌△BDF,△BDE≌△BCF,△BAD≌△BCD,共三對;
證明:△BDE≌△BCF.
在△BDE和△BCF中,
,
故△BDE≌△BCF.
(2)△BEF為正三角形.
理由:∵△BDE≌△BCF,
∴∠DBE=∠CBF,BE=BF,
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°,
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°,
∴△BEF為等邊三角形;
(3)設(shè)BE=BF=EF=x,
則S△BEF=xxsin60°=x2,
當(dāng)BE⊥AD時,x最小=2×sin60°= ,此時△BEF的面積最小,
此時點(diǎn)E、F分別位于AD、CD的中點(diǎn),
故此時BD垂直平分EF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l⊥線段AB于點(diǎn)B,點(diǎn)C在AB上,且AC=2CB,點(diǎn)M是直線l上的動點(diǎn),作點(diǎn)B關(guān)于直線CM的對稱點(diǎn)B’,直線AB’與直線CM相較于點(diǎn)P,聯(lián)結(jié)PB.
(1)如圖1,若點(diǎn)P與點(diǎn)M重合,則∠PAB=_____°,線段PA與PB的比值為______.
(2)如圖2,若點(diǎn)P與點(diǎn)M不重合,設(shè)過P、B、C三點(diǎn)的圓與直線AP相交于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)CD.
①求證:CD=CB’.
②求證:PA=2PB.
(3)如圖③,AC=2,BC=1,則滿足條件PA=2PB的點(diǎn)都在一個確定的圓上,在以下兩小題中選做一題:
①如果你能發(fā)現(xiàn)這個確定圓的圓心和半徑,那么不必寫出發(fā)現(xiàn)過程,只要證明這個圓上的任意一點(diǎn)Q,都滿足QA=2QB.
②如果你不能發(fā)現(xiàn)這個確定圓的圓心和半徑,那么請取幾個特殊位置的P點(diǎn),如點(diǎn)P在直線AB上,點(diǎn)P與點(diǎn)M重合等進(jìn)行探究,求這個圓的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為慶祝新中國成立70周年,河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)開展了以“我和我親愛的祖國”為主題的“快閃”活動,九年級準(zhǔn)備從兩名男生和兩名女生中選出兩名同學(xué)領(lǐng)唱,如果每一位同學(xué)被選中的機(jī)會均等,則選出的恰為一位男生一位女生的概率是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn),將線段AP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AQ,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)(3,0)運(yùn)動到點(diǎn)(1,0)時,點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF⊥BD,且交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE、DF,且BE平分∠ABD.
(1)①求證:四邊形BFDE是菱形;②求∠EBF的度數(shù).
(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究,如圖2,G,I分別在BF,BE邊上,且BG=BI,連接GD,H為GD的中點(diǎn),連接FH,并延長FH交ED于點(diǎn)J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究線段IH與FH之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足AB=AD時,點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn),連接DE,作EF⊥DE,垂足為點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)G.請直接寫出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根;
(2)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍;
(3)若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形紙片ABCD中,∠B=∠D=90°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,將AB,AD分別沿AE,AF折疊,點(diǎn)B,D恰好都和點(diǎn)G重合,∠EAF=45°.
(1)求證:四邊形ABCD是正方形;
(2)求證:三角形ECF的周長是四邊形ABCD周長的一半;
(3)若EC=FC=1,求AB的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,EF,EB是⊙O的弦,且EF=EB,EF與AB交于點(diǎn)C,連接OF,若∠AOF=40°,則∠F的度數(shù)是( )
A.20°B.35°C.40°D.55°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P是邊長為的正方形ABCD的對角線BD上的動點(diǎn),過點(diǎn)P分別作PE⊥BC于點(diǎn)E,PF⊥DC于點(diǎn)F,連接AP并延長,交射線BC于點(diǎn)H,交射線DC于點(diǎn)M,連接EF交AH于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動時(不包括B、D兩點(diǎn)),以下結(jié)論中:①MF=MC;②AH⊥EF;③AP2=PMPH;④EF的最小值是.其中正確結(jié)論是( 。
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④
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