【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)M、N分別在AD、CD上,若∠MBN=45°,易證MN=AM+CN

如圖2,在梯形ABCD中,BCAD,AB=BC=CD, 點(diǎn)M、N分別在AD、CD上,若∠MBN=ABC ,試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出猜想,并給予證明.

如圖3,在四邊形ABCD中,AB=BC,ABC+ADC=180°,點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上,若∠MBN=ABC,試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出猜想,不需證明.

【答案】1MN=AMCN,證明見解析(2MN=CNAM

【解析】

(1)先判定梯形ABCD是等腰梯形,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得∠A+BCD=180°,再把ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)M′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),ABMCBM′全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=CM′,BM=BM′,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=BCM′,ABM=M′BC,然后證明M′、C、N三點(diǎn)共線,再利用邊角邊證明BMNBM′N全等,然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證;

(2)在∠CBN內(nèi)部作∠CBM′=ABMCN于點(diǎn)M′,然后證明∠C=BAM,再利用角邊角證明ABMCBM′全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=CM′,BM=BM′,再證明∠MBN=M′BN,利用邊角邊證明MBNM′BN全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=M′N,從而得到MN=CN-AM.

(1)MN=AM+CN.

理由如下:

如圖,∵BCAD,AB=BC=CD,

∴梯形ABCD是等腰梯形,

∴∠A+BCD=180°,

ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合,則ABM≌△CBM′,

AM=CM′,BM=BM′,A=BCM′,ABM=M′BC,

∴∠BCM′+BCD=180°,

∴點(diǎn)M′、C、N三點(diǎn)共線,

∵∠MBN=ABC,

∴∠M′BN=M′BC+CBN=ABM+CBN=ABC-MBN=ABC,

∴∠MBN=M′BN,

BMNBM′N中,

∴△BMN≌△BM′N(SAS),

MN=M′N,

又∵M′N=CM′+CN=AM+CN,

MN=AM+CN;

(2)MN=CN-AM.

理由如下:如圖,作∠CBM′=ABMCN于點(diǎn)M′,

∵∠ABC+ADC=180°,

∴∠BAD+C=360°-180°=180°,

又∵∠BAD+BAM=180°,

∴∠C=BAM,

ABMCBM′中,

,

∴△ABM≌△CBM′(ASA),

AM=CM′,BM=BM′,

∵∠MBN=ABC,

∴∠M′BN=ABC-(ABN+CBM′)=ABC-(ABN+ABM)=ABC-MBN=ABC,

∴∠MBN=M′BN,

MBNM′BN中,

∴△MBN≌△M′BN(SAS),

MN=M′N,

M′N=CN-CM′=CN-AM,

MN=CN-AM.

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2)當(dāng)點(diǎn)是線段上(,除外)任意一點(diǎn)(其它條件不變),上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢?證明你的結(jié)論;

3)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢?在下圖中畫出圖形,并證明你的結(jié)論.

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售價(jià)x(元/千克)

40

50

60

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100

80

60

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(2)設(shè)商品每天的總利潤(rùn)為W(元),求Wx之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤(rùn)=收入成本);

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