Question

【題目】定義：把一個(gè)半圓與拋物線的一部分組成的封閉圖形稱為“蛋圓”．

如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)D，以AB為直徑，在x軸上方作半圓交y軸于點(diǎn)C，半圓的圓心記為M，此時(shí)這個(gè)半圓與這條拋物線x軸下方部分組成的圖形就稱為“蛋圓”．

（1）直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)及“蛋圓”弦CD的長；

A　 　，B　 　，C　 　，CD＝　 　；

（2）如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．

①求經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式；

②求經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式；

（3）由（2）求得過點(diǎn)D的“蛋圓”切線與x軸交點(diǎn)記為E，點(diǎn)F是“蛋圓”上一動(dòng)點(diǎn)，試問是否存在S△CDE＝S△CDF，若存在請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（4）點(diǎn)P是“蛋圓”外一點(diǎn)，且滿足∠BPC＝60°，當(dāng)BP最大時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，），CD＝3+；（2）①；②y＝﹣2x﹣3；（3）F′（，），F′′（，）；（4）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線與一元二次方程的關(guān)系以及勾股定理解答；

（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求出經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式；運(yùn)用二元二次方程組、一元二次方程根的判別式求出過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式；

（3）根據(jù)題意求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等解答；

（4）根據(jù)∠BPC＝60°保持不變，點(diǎn)P在一圓弧上運(yùn)動(dòng)和直徑是最大的弦進(jìn)行解答即可．

（1）當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），OD＝3，

如圖1，連接MC，由題意得，OM＝1，MC＝2，

∴OC＝，

∴C（0，），CD＝3+，

故答案為：（﹣1，0）；（3，0）；（0，）；3+；

（2）①如圖2，NC⊥CM，

∵∠CMO=∠NMC，

∴，

∴，即，

∴，

∴N的坐標(biāo)為（﹣3，0），

設(shè)NC的解析式為，

∴，

∴，

∴經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式為：，

②過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式為：y＝kx﹣3，

由，

得：x2﹣（2+k）x＝0，即：，

∵直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴，即k＝﹣2，

∴經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式為：y＝﹣2x﹣3．

（3）如圖3，∵經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式為：y＝﹣2x﹣3，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），

∵S△CDE＝S△CDF，

∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

在Rt△MQF1中

，，

∴，

把x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，可求得y＝．

∴F′（，），F′′（，）；

（4）如圖4，∵∠BPC＝60°保持不變，

因此點(diǎn)P在一圓弧上運(yùn)動(dòng)．

此圓是以K為圓心（K在BC的垂直平分線上，且∠BKC＝120°），BK為半徑．

當(dāng)BP為直徑時(shí)，BP最大．

∵B（3，0），C（0，），

∴OB=，OC，

∴，

∵BP為直徑，

∴∠PCB＝90°，

∵∠BPC＝60°

∴ ，，即：，

∴，

過點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，

∵∠RCP+∠PCB+∠OCB＝180，

∴∠RCP+∠OCB＝90，

∠OBC+∠OCB＝90，

∴∠RCP＝∠OBC，

∴

∴

∴

∴PR＝1，RC＝．

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．