Question

【題目】如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1，）或P（-1，-）或P（-1，6）或P（-1，）；（3）當(dāng)a=-時，S四邊形BOCE最大，且最大值為，此時，點E坐標(biāo)為（-，）．

【解析】

（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點的坐標(biāo)，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離．然后分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)CP=PM時，P位于CM的垂直平分線上．求P點坐標(biāo)關(guān)鍵是求P的縱坐標(biāo)，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設(shè)PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的長，可根據(jù)M的坐標(biāo)得出，CQ=3-x，因此可根據(jù)勾股定理求出x的值，P點的橫坐標(biāo)與M的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為x，由此可得出P的坐標(biāo)．

②當(dāng)CM=MP時，根據(jù)CM的長即可求出P的縱坐標(biāo)，也就得出了P的坐標(biāo)（要注意分上下兩點）．

③當(dāng)CM=CP時，因為C的坐標(biāo)為（0，3），那么直線y=3必垂直平分PM，因此P的縱坐標(biāo)是6，由此可得出P的坐標(biāo)；

（3）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計算，過E作EF⊥x軸于F，S四邊形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO為E的橫坐標(biāo)的絕對值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長．如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時E的坐標(biāo)．

(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B(3,0)，

∴

解得：.

∴所求拋物線解析式為：y=x22x+3；

(2)∵拋物線解析式為：y=x22x+3，

∴其對稱軸為，

∴設(shè)P點坐標(biāo)為(1,a)，當(dāng)x=0時，y=3，

∴C(0,3),M(1,0)

∴當(dāng)CP=PM時,(1)2+(3a)2=a2,解得a=，

∴P點坐標(biāo)為：；

∴當(dāng)CM=PM時,(1)2+32=a2,解得，

∴P點坐標(biāo)為：或；

∴當(dāng)CM=CP時,由勾股定理得：(1)2+32=(1)2+(3a)2，解得a=6，

∴P點坐標(biāo)為：P4 (1,6).

綜上所述存在符合條件的點P,其坐標(biāo)為或 或P(1,6)或；

(3)過點E作EF⊥x軸于點F,設(shè)E(a,a22a+3)(3<a<0)

∴EF=a22a+3，BF=a+3，OF=a

∴

∴當(dāng)a=時,S四邊形BOCE最大,且最大值為.

此時,點E坐標(biāo)為.