【題目】如圖1,Rt△ABC中,點(diǎn)D,E分別為直角邊AC,BC上的點(diǎn),若滿足AD2+BE2=DE2,則稱DE為R△ABC的“完美分割線”.顯然,當(dāng)DE為△ABC的中位線時(shí),DE是△ABC的一條完美分割線.
(1)如圖1,AB=10,cosA=,AD=3,若DE為完美分割線,則BE的長(zhǎng)是 .
(2)如圖2,對(duì)AC邊上的點(diǎn)D,在Rt△ABC中的斜邊AB上取點(diǎn)P,使得DP=DA,過(guò)點(diǎn)P畫(huà)PE⊥PD交BC于點(diǎn)E,連結(jié)DE,求證:DE是直角△ABC的完美分割線.
(3)如圖3,在Rt△ABC中,AC=10,BC=5,DE是其完美分割線,點(diǎn)P是斜邊AB的中點(diǎn),連結(jié)PD、PE,求cos∠PDE的值.
【答案】(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)根據(jù)題意求出BC的長(zhǎng),設(shè)BE=x,則CE=6﹣x,由勾股定理得DE2=CD2+CE2=52+(6﹣x)2,代入到AD2+BE2=DE2中即可求出BE.
(2)現(xiàn)根據(jù)題意找出EP=EB,再由勾股定理得出DP2+EP2=DE2=AD2+BE2即DE是直角△ABC的完美分割線.
(3)本題需做輔助線:延長(zhǎng)DP至F,使PF=PD,連接BF,EF,根據(jù)題意得出ED=EF.
再過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC,PN⊥BC,證明△MPD∽△NPE,設(shè)PD=a,則PE=2a,求出DE,即可求出cos∠PDE的值.
解:(1)∵AB=10,cosA=,
∴cosA=,
∴AC=8,CD=5,
∴BC===6,
設(shè)BE=x,則CE=6﹣x,
在Rt△CDE中,DE2=CD2+CE2=52+(6﹣x)2,
∵DE為完美分割線,
∴AD2+BE2=DE2,
∴32+x2=52+(6﹣x)2,
解得:x=.
∴BE=.
故答案為:.
(2)證明:如圖2,
∵DA=DP,
∴∠DAP=∠DPA,
∵PE⊥PD,
∴∠DPA+∠EPB=90°,
又∠A=∠B,
∴∠EPB=∠B,
∴EP=EB,
∴AD2+BE2=DP2+EP2=DE2,
∴DE是直角△ABC的完美分割線.
(3)解:延長(zhǎng)DP至F,使PF=PD,連接BF,EF,
∵AP=BP,∠APD=∠BPF,
∴△APD≌△BPF(SAS),
∴AD=BF,∠A=∠FBP,
∴∠EBF=∠CBA+∠FBP=∠CBA+∠A=90°,
∵DE是完美分割線,
∴DE2=AD2+BE2=BF2+BE2=EF2,即ED=EF.
又PD=PF,
∴∠EPD=90°,
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC,PN⊥BC,
則∠MPD=∠NPE=90°﹣∠MPE,
∴△MPD∽△NPE,
∴,
設(shè)PD=a,則PE=2a,則DE==a,
∴cos∠PDE==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形的邊在正方形的邊上,連結(jié)、.
(1)觀察猜想與之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)圖中是否存在通過(guò)旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形?若存在,說(shuō)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】"桃花流水窅然去,別有天地非人間."桃花園景點(diǎn)2017年三月共接待游客萬(wàn)人,2018年三月比2017年三月旅游人數(shù)增加5%,已知2017年三月至2019年三月欣賞桃花的游客人數(shù)平均年增長(zhǎng)率為8%,設(shè)2019年三月比2018年三月游客人數(shù)增加,則可列方程為( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖,已知AB為半圓O的直徑,P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),以OP、OB為一組鄰邊作POBQ,連接OQ、AP,設(shè)OQ、AP的中點(diǎn)分別為M、N,連接PM、ON.
(1)試判斷四邊形OMPN的形狀,并說(shuō)明理由.
(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒15°的速度,繞點(diǎn)O在半圓上逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.
①試求:當(dāng)t為何值時(shí),四邊形OMPN的面積取得最大值?并判斷此時(shí)直線PQ與半圓O的位置關(guān)系(需說(shuō)明理由);
②是否存在這樣的t,使得點(diǎn)Q落在半圓O內(nèi)?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△BEF,其中點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在BD上.BF,EF分別交邊AD于點(diǎn)G,H.若GH=4HD,則cos∠DBC的值為_____.
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【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°.AC=8,BC=3,點(diǎn)D是BC邊上動(dòng)點(diǎn),連接AD交以CD為直徑的圓于點(diǎn)E,則線段BE長(zhǎng)度的最小值為( )
A.1B.C. D.
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【題目】如圖,四邊形內(nèi)一點(diǎn)滿足,,,交于點(diǎn),交于點(diǎn).
(1)的度數(shù)為__________.
(2)若四邊形是平行四邊形
①求證:;
②若,求的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的解析式為,將拋物線沿軸翻折得到拋物線,拋物線、的頂點(diǎn)分別為、,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),橫坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí);
①請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線的解析式;
②當(dāng)時(shí),求的值;
(2)當(dāng)時(shí).
①為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)為等腰直角三角形時(shí),求的值;
②以為邊向左作正方形,設(shè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)稱為“夢(mèng)想點(diǎn)”,當(dāng)正方形的內(nèi)部(不包括邊上)有6個(gè)“夢(mèng)想點(diǎn)”時(shí),直接寫(xiě)出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明在練習(xí)操控航拍無(wú)人機(jī),該型號(hào)無(wú)人機(jī)在上升和下落時(shí)的速度相同,設(shè)無(wú)人機(jī)的飛行高度為y(米),小明操控?zé)o人飛機(jī)的時(shí)間為x(分),y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)無(wú)人機(jī)上升的速度為 米/分,無(wú)人機(jī)在40米的高度上飛行了 分.
(2)求無(wú)人機(jī)下落過(guò)程中,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)求無(wú)人機(jī)距地面的高度為50米時(shí)x的值.
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