Question

【題目】如圖，四邊形為正方形.在邊上取一點，連接，使.

（1）利用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：分別以點、為圓心，長為半徑作弧交正方形內(nèi)部于點，連接并延長交邊于點，則；

（2）在前面的條件下，取中點，過點的直線分別交邊、于點、.

①當時，求證：；

②當時，延長，交于點，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）①見解析；②數(shù)量關(guān)系為：或．理由見解析；

【解析】

（1）按照題意，尺規(guī)作圖即可；

（2）連接PE，先證明PQ垂直平分BE，得到PB=PE，再證明，得到，利用在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，即可解答；

（3）NQ=2MQ或NQ=MQ，分兩種情況討論，作輔助線，證明，即可解答.

（1）如圖1，分別以點、為圓心，長為半徑作弧交正方形內(nèi)部于點，連接并延長交邊于點；

圖1

（2）①連接，如圖2，

圖2

點是的中點，

垂直平分．

，

，

，

，

，

，

．

②數(shù)量關(guān)系為：或．

理由如下，分兩種情況：

I、如圖3所示，過點作于點交于點，則．

圖3

正方形中，，

．

在和中，

．

．

又，

，

．．

．

Ⅱ、如圖4所示，過點作于點交于點，則．

圖4

同理可證．

此時．

又，．

．

，．