Question

【題目】如圖，四邊形為正方形.在邊上取一點(diǎn)，連接，使.

（1）利用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：分別以點(diǎn)、為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交正方形內(nèi)部于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，則；

（2）在前面的條件下，取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交邊、于點(diǎn)、.

①當(dāng)時(shí)，求證：；

②當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②數(shù)量關(guān)系為：或．理由見(jiàn)解析；

【解析】

（1）按照題意，尺規(guī)作圖即可；

（2）連接PE，先證明PQ垂直平分BE，得到PB=PE，再證明，得到，利用在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可解答；

（3）NQ=2MQ或NQ=MQ，分兩種情況討論，作輔助線(xiàn)，證明，即可解答.

（1）如圖1，分別以點(diǎn)、為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交正方形內(nèi)部于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)；

圖1

（2）①連接，如圖2，

圖2

點(diǎn)是的中點(diǎn)，

垂直平分．

，

，

，

，

，

，

．

②數(shù)量關(guān)系為：或．

理由如下，分兩種情況：

I、如圖3所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)，則．

圖3

正方形中，，

．

在和中，

．

．

又，

，

．．

．

Ⅱ、如圖4所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)，則．

圖4

同理可證．

此時(shí)．

又，．

．

，．