Question

【題目】如圖，直線(xiàn)y=x+與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，以AC為直徑作⊙M，點(diǎn)D是劣弧AO上一動(dòng)點(diǎn)（D點(diǎn)與A，C不重合）．拋物線(xiàn)y=－x+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，與x軸交于另一點(diǎn)B，

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）連CD交AO于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CD至G，使FG=2，試探究當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線(xiàn)GA與⊙M相切，并請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y= , B(1，0) ;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.

【解析】（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進(jìn)而求出其對(duì)稱(chēng)軸和B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）首先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式進(jìn)而得出，此時(shí)PA=PB，|PA-PC|的值最大，求出即可；

（3）當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到劣弧AO的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)AG與⊙M相切，利用已知得出△AFG為等邊三角形，進(jìn)而求出∠CAG=30°+60°=90°，即可得出答案．

（1）由y=x+， 得：A（-3，0），C（0，），

將其代入拋物線(xiàn)解析式得：，解得：，

∴y=，

∵對(duì)稱(chēng)軸是x=-1，

∴由對(duì)稱(chēng)性得B(1，0)；

（2）延長(zhǎng)BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=mx+n，

把B(1，0)，C（0，）代入得：，解得：，

則直線(xiàn)BC解析式為：y=-x+，

當(dāng)x=-1時(shí)，y=2，

∴P(-1, 2)；

（3）結(jié)論：當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到劣弧AO的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)AG與⊙M相切，理由如下：

∵在RT△AOC中，tan∠CAO=，

∴∠CAO=30°，∠ACO=60°，

∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，

∴，

∴∠ACD=∠DCO=30°，

∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°，

∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，

∵FG=2，

∴△AFG為等邊三角形，

∴∠GAF=60°，

∴∠CAG=30°+60°=90°，

∴AC⊥AG，

∴AG為⊙M的切線(xiàn)．