Question

【題目】閱讀下列材料，并解答問題:

阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎賞?阿基米德對國王說:“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八．．．．按這個方法放滿整個棋盤就行．”國王以為要不了多少糧食，就隨口答應(yīng)了．

(1)國際象棋的棋盤共有個格子，則在第格中應(yīng)放 粒米．(用冪表示)

(2)請?zhí)骄康?/span>(1)題中的冪的個位數(shù)字是多少?(簡要寫出探究過程)

(3)你知道國王輸給了阿基米德多少粒米嗎?為解決這個問題，我們先來看下面的解題過程:

“用分?jǐn)?shù)表示無限循環(huán)小數(shù):

解:設(shè)．等式兩邊同時乘，

得．

將得:，

則

請參照以上解法求出國王輸給阿基米德的米粒數(shù)．(用冪的形式表示)

Answer 1

【答案】(1) 263；(2) 8；(3) 264-1

【解析】

(1)觀察發(fā)現(xiàn)，第n個格子里的米粒數(shù)是2為底數(shù)，n-1作為指數(shù)；
(2)通過計算可以看出，個位數(shù)是以4項為一組循環(huán)的，用63除以4，余數(shù)是幾就與第幾項的個位數(shù)相同；
(3)利用信息，這列數(shù)都乘以2，再相減即可求出．

(1)第一格放一粒米為：20，
第二格放二粒：21，
第三格放四粒：22，
第四格放八粒：23
…
按這個方法，
國際象棋共有64個格子，
則在第64格應(yīng)放263粒米；
故答案為：263；

(2)∵20=1，21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…

，
∴263的末位數(shù)字與23的末位數(shù)字相同，是8；

(3)設(shè)x=1+2+22+…+263 ①．

等式兩邊同時乘以2，得2x=2+22+23+…+264 ②，

②-①，得x=264-1．

答：國王輸給阿基米德的米粒數(shù)為264-1．