Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣6）．

（1）求拋物線的解析式并寫(xiě)出其對(duì)稱軸；

（2）D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若E為y軸上且位于點(diǎn)C下方的一點(diǎn)，P為直線BC上的一點(diǎn)，在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q．使以C，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的對(duì)稱軸x＝2；（2）D（2，﹣8）或（2，4）；（3）存在，Q（6﹣2，4﹣8）或（2，﹣8）．

【解析】

（1）將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）分∠BCD=90°、∠DBC=90°兩種情況，分別求解即可；

（3）分CE為菱形的一條邊、CE為菱形的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣6，

令y＝0，則x＝﹣2或6，則點(diǎn)A（﹣2，0），

則函數(shù)的對(duì)稱軸x＝2；

（2）①當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：

直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣6，

則直線CD的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣6，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣8，故點(diǎn)D（2，﹣8）；

②當(dāng)∠DBC＝90°時(shí)，

同理可得點(diǎn)D（2，4），

故點(diǎn)D（2，﹣8）或（2，4）；

（3）①當(dāng)CE為菱形的一條邊時(shí)，

則PQ∥CE，設(shè)點(diǎn)P（m，m﹣6），則點(diǎn)Q（m，n），

則n＝m2﹣2m﹣6…①，

由題意得：CP＝PQ，

即m＝m﹣6﹣n…②，

聯(lián)立①②并解得：m＝6﹣2，n＝4﹣8，

則點(diǎn)Q（6﹣2，4﹣8）；

②當(dāng)CE為菱形的對(duì)角線時(shí)，

則PQ⊥CE，即PQ∥x軸，

設(shè)點(diǎn)P（m，m﹣6），則點(diǎn)Q（s，m﹣6），

其中m﹣6＝s2﹣2s﹣6…③，

則PC＝﹣m，

CQ2＝s2+m2，

由題意得：CQ＝CP，

即：（﹣m）2＝s2+m2…④，

聯(lián)立③④并解得：m＝6或﹣2（舍去6），

故點(diǎn)（2，﹣8）；

綜上，點(diǎn)Q（6﹣2，4﹣8）或（2，﹣8）．