Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作直線，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式并寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)軸；

（2）為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若為軸上且位于點(diǎn)下方的一點(diǎn)，為直線上的一點(diǎn)，在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)．使以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形且為菱形對(duì)角線？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），對(duì)稱(chēng)軸；（2）點(diǎn)或；（3）點(diǎn)．

【解析】

（1）將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）分∠BCD＝90、∠DBC＝90兩種情況，分別求解即可；

（3）根據(jù)CE為菱形的對(duì)角線時(shí)，PQ⊥CE，即PQ∥x軸，再根據(jù)CQ=CP得到方程組，聯(lián)立即可求解．

解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，

解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：，

令，則或6，則點(diǎn)，

則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）①當(dāng)時(shí)，

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，

把B、 代入得

解得

∴直線的表達(dá)式為：，

∵BC⊥CD，

∴可設(shè)直線CD為y=-x+d

把 代入y=-x+d得-6=d，

∴直線的表達(dá)式為：，

當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，

直線的表達(dá)式為：，

∵BD⊥CD，

∴可設(shè)直線BD為y=-x+e

把B代入y=-x+e得0=-6+e，

∴e=6

∴直線BD的表達(dá)式為：，

當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)，

故點(diǎn)或；

（3）由題意知為菱形的對(duì)角線，

則，即軸，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

把Q代入拋物線得…①，

∵直線的表達(dá)式為：，

∴∠CPE=45°，

∴△PCE是等腰直角三角形，

∵PE=-m，

∴，

∵EQ=s，CE= PE=-m

∴，

由題意得：，即：…②

聯(lián)立①②并解得：或-2（舍去6）

故點(diǎn)；

∴點(diǎn)．