Question

已知，如圖，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分線AD與BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的直線DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F（或AC延長線）
（1）求證：AE=AF；
（2）求證：BE=CF；
（3）求AE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)得出DE=DF，證得Rt△AED≌Rt△AFD，得出結(jié)論；
（2）連接BD，CD．利用垂直平分線的性質(zhì)得出DB=DC，證得Rt△DCF≌Rt△DBE，得出結(jié)論；
（3）利用（1）（2）的結(jié)論，利用線段的和與差得出答案即可．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
在Rt△AED與Rt△AFD中，

DE=DF AD=AD

，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF；
（2）證明：連接BD，CD．
∵點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，
∴DB=DC；
在Rt△DCF與Rt△DBE中，

DE=DF DB=DC

，
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF=BE；
（3）解：∵AB=8cm，AC=4cm，CF=BE，AE=AF=AC+CF，
∴AB=AE+BE=AC+BE+CF=AC+2BE，
∴BE=2cm，
∴AE=AB-BE=6cm．

點(diǎn)評：此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，以及線段的和與差等知識解決問題．