Question

如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，M、N分別從D到A、從B到C，速度相同，E、F分別從A到B、從C到D，速度相同．他們之間用繩子連緊．
（1）沒(méi)有出發(fā)時(shí)，這兩條繩子有何關(guān)系？
（2）若同時(shí)出發(fā)，這兩條繩子還有（1）中的結(jié)論嗎？為什么？

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問(wèn)題

分析：（1）由“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)進(jìn)行判定；
（2）如圖2，順次連接EN、NF、FM、ME，證得四邊形ENFM為平行四邊形，則EF與MN相互平分．

解答：（1）解：沒(méi)有出發(fā)時(shí)，這兩條繩子相互平分．理由如下：
如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
即EF與MN相互平分；

（2）解：若同時(shí)出發(fā)，這兩條繩子還有（1）中的結(jié)論．理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C．
又∵M(jìn)、N分別從D到A、從B到C，速度相同，E、F分別從A到B、從C到D，速度相同，
∴AE=CF，AM=CN，
∴在△AEM與△CFM中，

AE=CF ∠A=∠C AM=CN

，
∴△AEM≌△CFM（SAS），
∴EM=FN．
同理EN=MF，
∴四邊形ENFM為平行四邊形，
∴EF與MN相互平分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解答（2）題的關(guān)鍵是證得四邊形ENFM為平行四邊形．