【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,,是軸正半軸上一點,,若與互為相反數(shù).
(1)求的值;
(2)如圖2,交軸于,以為邊的正方形的對角線交軸于.
①求證:;
②記,,求的值.
【答案】(1);(2)①見解析,②3
【解析】
(1)根據(jù)相反數(shù)的概念得出方程,求出的值,作AG⊥OB于G,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得答案;
(2)①延長AC交y軸于點Q,作AP⊥OA交OB于P,利用“ASA”證得△OAQ△PAB,得到AQ= AB,,QC=2OC,再利用線段的和差即可證明;
②連接QF,利用“SAS”證得△FAQ△FAB,得到,從而證得結論.
(1)∵和互為相反數(shù),
∴,
∴, ,
∴,
如圖:作AG⊥OB于G,
∵點A的坐標為(,),即A (,),
∴AG=OG=2,
在RtBAG中,∠ABG=30,AG=2,
∴AB=2AG=4,
BG=,
∴BO= OG+ BG=2+,
∴;
(2)①延長AC交軸于點Q,作AP⊥OA交OB于P,如圖:
由(1)得AG=OG=2,AG⊥OB,
∴∠AOG=45,
∵AP⊥OA,
∴∠APO=90-∠AOG =45,
∴∠APO=∠AOG=45,
∴AO=AP,∠APB=180-45 =135,
∠AOQ=90+45 =135,
∴∠APB=∠AOQ,
∵AP⊥OA,AC⊥AB,
∴∠OAP=∠CAB=90,
∴∠OAQ+∠CAP =∠PAB+∠CAP =90,
∴∠OAQ=∠PAB,
在△OAQ和△PAB中,
,
∴△OAQ△PAB(ASA),
∴AQ= AB,,
在RtOQC中,∠OQC=30,
∴QC=2OC,
∵四邊形ACDE為正方形,
∴AC=AE,
∴BE=AB-AE=AQ-AC=QC=2OC;
②如圖,連接QF,
∵四邊形ACDE為正方形,AD為對角線,
∴,
由①得:AQ= AB,,QC=2OC,
∴,
在△FAQ和△FAB中,
,
∴△FAQ△FAB (SAS),
∴QF=BF,
∴,
∴.
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【題目】在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位長度,△ABC的三個頂點的位置如圖所示.現(xiàn)將△ABC平移,使點A變換為點D,點E、F分別是B、C的對應點.
(1)請畫出平移后的△DEF,并求△DEF的面積;
(2)若連接AD、CF,則這兩條線段之間的關系是________________ .
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【題目】如圖,直徑為1的圓從原點沿數(shù)軸向左滾動一周,圓上與原點重合的點O到達O′,設點O′表示的數(shù)為a.
(1)求a的值;
(2)求﹣(a﹣)﹣π的算術平方根.
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【題目】把一副三角板如圖甲放置,其中 , ,斜邊AB=6cm,DC=7cm把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1(如圖乙).這時AB與CD1相交于點O,與D1E1相交于點F .
(1)求 的度數(shù);
(2)求線段AD1的長;
(3)若把三角形D1CE1繞著點 C 順時針再旋轉30°得△D2CE2 , 這時點B在△D2CE2的內(nèi)部、外部、還是邊上?說明理由.
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【題目】一天,小明和小紅玩紙片拼圖游戲.發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種材料各若干可以拼出一些圖形來解釋某些等式,比如圖②可以解釋為:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
(1)圖③可以解釋為等式: .
(2)圖④中陰影部分的面積為 .觀察圖④請你寫出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之間的等量關系是 .
(3)如圖⑤,小明利用7個長為b,寬為a的長方形拼成如圖所示的大長方形;
①若AB=4,若長方形AGMB的面積與長方形EDHN的面積的差為S,試計算S的值(用含a,b的代數(shù)式表示)
②若AB為任意值,且①中的S的值為定值,求a與b的關系.
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【題目】每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,在建立平面直角坐標系后,△ABC的頂點均在格點上,
(1)寫出A、B、C的坐標.
(2)以原點O為中心,將△ABC圍繞原點O逆時針旋轉180°得到△A1B1C1 , 畫出△A1B1C1 .
(3)求(2)中C到C1經(jīng)過的路徑以及OB掃過的面積.
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【題目】在平面直角坐標系中,有一個長方形ABCD,AB=4,BC=3且AB∥x軸,BC∥y軸,把這個長方形首先向左平移7個單位,再向上平移5個單位,然后沿著y軸翻折得長方形A1B1C1D1,在這個過程中A與A1,B與B1,C與C1,D與D1分別表示始末位置長方形中相同位置的頂點,已知A1坐標是(5,1),那么A點坐標是( 。
A. B. C. D.
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【題目】△ABC中,AB=AC,在△ABC內(nèi)求作一點O,使點O到三邊的距離相等.甲同學的作法如圖1所示,乙同學的作法如圖2所示,對于兩人的作法,下列說法正確的是( 。
A.兩人都對B.兩人都不對C.甲對,乙不對D.乙對,甲不對
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