【題目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對角線AC上一點,F(xiàn)是線段BC延長線上一點,且CF=AE,連接BE、EF.

(1)若E是線段AC的中點,如圖1,易證:BE=EF(不需證明);
(2)若E是線段AC或AC延長線上的任意一點,其它條件不變,如圖2、圖3,線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系,直接寫出你的猜想;并選擇一種情況給予證明.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形,

∴AB=BC,

又∵∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∵E是線段AC的中點,

∴∠CBE= ∠ABC=30°,AE=CE,

∵AE=CF,

∴CE=CF,

∴∠F=∠CEF,

∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°,

∴∠F=30°,

∴∠CBE=∠F,

∴BE=EF;


(2)證明:圖2:BE=EF.

圖3:BE=EF.

圖2證明如下:過點E作EG∥BC,交AB于點G,

∵四邊形ABCD為菱形,

∴AB=BC,

又∵∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∴AB=AC,∠ACB=60°,

又∵EG∥BC,

∴∠AGE=∠ABC=60°,

又∵∠BAC=60°,

∴△AGE是等邊三角形

∴AG=AE,

∴BG=CE,

又∵CF=AE,

∴GE=CF,

又∵∠BGE=∠ECF=120°,

∴△BGE≌△ECF(SAS),

∴BE=EF;

圖3證明如下:過點E作EG∥BC交AB延長線于點G,

∵四邊形ABCD為菱形,

∴AB=BC,

又∵∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∴AB=AC,∠ACB=60°,

又∵EG∥BC,

∴∠AGE=∠ABC=60°,

又∵∠BAC=60°,

∴△AGE是等邊三角形,

∴AG=AE,

∴BG=CE,

又∵CF=AE,

∴GE=CF,

又∵∠BGE=∠ECF=60°,

∴△BGE≌△ECF(SAS),

∴BE=EF.


【解析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CBE=∠ABC=30°,AE=CE,所以CE=CF,然后由等邊對等角的性質(zhì)可得∠F=∠CEF,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠F=30°,從而得到∠CBE=∠F,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)即可證明;(2)圖2,過點E作EG∥BC,構(gòu)造全等三角形△BGE≌△ECF,由已知可得BG=CE,GE=CF,∠BGE=∠ECF=120°,可證明△BGE和△ECF 全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證;圖3,證明思路與方法與圖2完全相同.
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質(zhì),掌握菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半即可以解答此題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分別是AB,CD上的點,且BE=DF,連接EF交BD于O.

(1)求證:BO=DO;

(2)若EF⊥AB,延長EF交AD的延長線于G,當FG=1時,求AD的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在正方形ABCD中,過點A引射線AH,交邊CD于點H(H與點D不重合).通過翻折,使點B落在射線AH上的點G處,折痕AEBCE,延長EGCDF

(感知)(1)如圖①,當點H與點C重合時,猜想FGFD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

(探究)(2)如圖②,當點H為邊CD上任意一點時,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.

(應用)(3)在圖②中,當DF=3,CE=5時,直接利用探究的結(jié)論,求AB的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2AD,點E,F(xiàn)分別是AB,BC邊的中點,連接AF,CE交于點M,連接BM并延長交CD于點N,連接DE交AF于點P,則結(jié)論:①∠ABN=∠CBN;②DE∥BN;③△CDE是等腰三角形;④EM:BE= :3;⑤SEPM= S梯形ABCD , 正確的個數(shù)有( )

A.5個
B.4個
C.3個
D.2個

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,SABC=8,點M,P,N分別是邊ABBC,AC上任意一點,則:

1AB的長為____________

2PM+PN的最小值為____________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點C(﹣3,0),點A,B分別在x軸,y軸的正半軸上,且滿足 +|OA﹣1|=0

(1)求點A,點B的坐標.
(2)若點P從C點出發(fā),以每秒1個單位的速度沿射線CB運動,連結(jié)AP.設(shè)△ABP的面積為S,點P的運動時間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,是否存在點P,使以點A,B,P為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,⊙ 是△ 的外接圓, 為直徑,弦 , 的延長線于點 ,求證:

(Ⅰ) ;
(Ⅱ) 是⊙ 的切線.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線 的對稱軸為直線 ,與 軸的一個交點坐標為(-1,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:

;② 方程 的兩個根是 ;③ ;④當 時, 的取值范圍是 ;⑤ 當 時, 增大而增大;其中結(jié)論正確有.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,四邊形OABC是矩形,點A、C的坐標分別為(30),(01),點D是線段BC上的動點(與端點B、C不重合),過點D作直線y=﹣x+m交折線OAB于點E

1)請寫出m的取值范圍

2)記ODE的面積為S,求Sm的函數(shù)關(guān)系式.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案