Question

【題目】在正方形ABCD中，過點(diǎn)A引射線AH，交邊CD于點(diǎn)H(點(diǎn)H與點(diǎn)D不重合)．通過翻折，使點(diǎn)B落在射線AH上的點(diǎn)G處，折痕AE交BC于E，延長EG交CD于F．

（感知）（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)C重合時(shí)，猜想FG與FD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（探究）（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)H為邊CD上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．

（應(yīng)用）（3）在圖②中，當(dāng)DF=3，CE=5時(shí)，直接利用探究的結(jié)論，求AB的長．

Answer 1

【答案】[感知] FG=FD，理由見解析；

[探究]成立，理由見解析；

[應(yīng)用] .

【解析】

[感知]運(yùn)用折疊的性質(zhì)可證明△AGF≌△ADF，從而得到FG=FD；

[探究] 運(yùn)用折疊的性質(zhì)可證明△AGF≌△ADF，從而得到FG=FD；

[應(yīng)用] 由[探究]中的結(jié)論，可設(shè)AB=x，則FC=x-3，FE=x，然后在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理求解即可.

[感知]猜想：FG=FD.

證明：如圖所示：

連接AF，

由折疊的性質(zhì)可得AB=AG=AD，

在Rt△AGF和Rt△ADF中，

,

∴△AGF≌△ADF，

故可得FG=FD；

[探究] 當(dāng)點(diǎn)H為邊CD上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中結(jié)論仍然成立.

證明：如圖所示：

連接AF，

由折疊的性質(zhì)可得AB=AG=AD，

在Rt△AGF和Rt△ADF中，

,

∴△AGF≌△ADF．

∴FG=FD，

故當(dāng)點(diǎn)H為邊CD上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立；

[應(yīng)用]設(shè)AB=x，則FC=x-3，FE=x，

在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，即x2=（x-3）2+52，

解得x=．

即AB的長為．