Question

7．如圖，己知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分線交AC于D，以D為圓心，DA為半徑作圓，與射線交于點E、F．有下列結(jié)論：
①△ABC是直角三角形；②⊙D與直線BC相切；③點E是線段BF的黃金分割點；④tan∠CDF=2．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 由勾股定理的逆定理得出①正確；由角平分線的性質(zhì)定理得出②正確；由全等三角形的性質(zhì)得出MB=AB=3，證明△CDM∽△CBA，得出對應(yīng)邊成比例求出DM，根據(jù)勾股定理得出BD，求出EF²=BF•BE，得出③正確；由tan∠CDF=tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=2，得出④正確，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵3²+4²=5²，
∴AB²+AC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，①正確；
作DM⊥BC于M，如圖所示：
∵BD是∠ABC的平分線，
∴DM=DA，
∴⊙D與直線BC相切，
∴②正確；
∵∠BAC=∠DMC=90°，
在Rt△BDM和△BDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{DM=DA}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDM≌△BDA（HL），
∴MB=AB=3，
∴CM=BC-MB=2，
∵∠C=∠C，
∴△CDM∽△CBA，
∴$\frac{DM}{AB}=\frac{CM}{AC}$，即$\frac{DM}{3}=\frac{2}{4}$，
解得：DM=$\frac{3}{2}$，
∴DF=DE=$\frac{3}{2}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}++A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴BE=BD-DE=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-$\frac{3}{2}$，BF=BD+DF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$+$\frac{3}{2}$，
∵EF²=9，BF•BE=（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$+$\frac{3}{2}$）（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-$\frac{3}{2}$）=9，
∴EF²=BF•BE，
∴點E是線段BF的黃金分割點，③正確；
∵tan∠CDF=tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{3}{\frac{3}{2}}$=2，
∴④正確；
正確的有4個．
故選：A．

點評 本題考查了切線的判定、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)；熟練掌握切線的判定，證明三角形全等和三角形相似是解決問題③的關(guān)鍵．