Question

18．如圖，拋物線C₁是二次函數y=x²-10x在第四象限的一段圖象，它與x軸的交點是O、A₁；將C₁繞點A₁旋轉180°后得拋物線C₂；它與x軸的另一交點為A₂；再將拋物線C₂繞A₂點旋轉180°后得拋物線C₃，交x軸于點A₃；如此反復進行下去…，若某段拋物線上有一點
P（2016，a），則a=24．

Answer 1

分析 先通過解方程x²-10x=0得到A₁（10，0），則OA₁=10，利用旋轉的性質得A₁A₂=A₂A₃=10，由于2010=10×201，則可判斷P（2016，a）在拋物線C₂₀₂上，由于拋物線C₂₀₂的開口向下，與x軸的兩交點坐標為（2010，2020），則可求出拋物線C₂₀₂的解析式為y=-（x-2010）（x-2020），然后把P（2016，a）代入可計算出a的值．

解答 解：當y=0時，x²-10x=0，解得x₁=10，x₂=0，則A₁（10，0）
所以OA₁=10，
所以A₁A₂=A₂A₃=10，
而2010=10×201，
∴P（2016，a）在拋物線C₂₀₂上，拋物線C₂₀₂的開口向下，與x軸的兩交點坐標為（2010，2020），
所以拋物線C₂₀₂的解析式為y=-（x-2010）（x-2020），
當x=2016時，y=-（2016-2010）（2016-2020）=24，即a=24．
故答案為24．

點評 本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．